Esercizio su polinomi

[gennarosdc]

Ragazzi mi aiutate a completare questo esercizio per favore? ci sono alcuni punti che non riesco a risolvere

Sia $M$ l'insieme dei polinomi monici di grado 3 in $Z_3[x]$
Sia $A={finM | 1\ è\ radice\ di\ f}$ e $B={finM | 1\ e\ 2\ radici\ di\ f}$
i)calcolare $|M|$
ii)Caratterizzare gli elementi di A e calcolare $|A|$
iii)Caratterizzare gli elementi di B e calcolare $|B|$
iv)è vero che ogni elemento di A è prodotto di tre polinomi irriducibili?
v)è vero che ogni elemento di B è prodotto di tre polinomi irriducibili?

i) mi trovo 9
ii)sono tutti i polinomi $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\ |suma_i=-1\ \ ,a_iinZ_3$ ..e la cardinalità?
iii)non saprei
iv)dovrebbe essere vero perchè per la regola di addizione dei gradi se scomponiamo il polinomio $inM$ in 3 polinomi ,otteniamo solo polinomi di grado 1 che sono irriducibili.
iv)non saprei

Grazie in anticipo

[Pappappero1]

i) Io direi che sono $27$. Sono polinomi della forma $x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$ e hai tre possibilita' per ciascun $a_i$.

Per tutti gli altri punti ti consiglio di usare il Teorema di Ruffini. Cosa vuol dire avere $1$ come radice? E avere $1$ e $2$?

[gennarosdc]

"Pappappero":i) Io direi che sono $27$. Sono polinomi della forma $x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$ e hai tre possibilita' per ciascun $a_i$.

Per tutti gli altri punti ti consiglio di usare il Teorema di Ruffini. Cosa vuol dire avere $1$ come radice? E avere $1$ e $2$?

Gli elementi di A sono i polinomi divisibili per $(x-1)$ per i teorema di Ruffini .Basterebbe questo?Cardinalita?
Ogni elemento di A non è prodotto di 3 polinomi irriducibili (?)

Gli elementi di B sono i polinomi divisibili per $(x-1)(x-2)$ per i teorema di Ruffini.
Ogni elemento di B è prodotto di 3 polinomi irriducibili sicuramente per la regola di addizione dei gradi

[Pappappero1]

Esatto. Gli elementi di $A$ sono divisibili per $(x-1)$, quindi sono della forma $f = (x-1)g$, con $g = b_2x^2 + b_1x + b_0$, per certi $b_0,b_1,b_2 \in \mathbb{Z}_3$.

Ora, siccome sono polinomi monici, deduciamo che $b_2 = 1$. Una volta fatto questo, come possiamo calculare la cardinalita' di $A$?

Se ogni elemento di $A$ fosse prodotto di tre polinomi irriducibili, cosa dedurremmo a proposito di $g$?

[gennarosdc]

"Pappappero":Esatto. Gli elementi di $A$ sono divisibili per $(x-1)$, quindi sono della forma $f = (x-1)g$, con $g = b_2x^2 + b_1x + b_0$, per certi $b_0,b_1,b_2 \in \mathbb{Z}_3$.

Ora, siccome sono polinomi monici, deduciamo che $b_2 = 1$. Una volta fatto questo, come possiamo calculare la cardinalita' di $A$?

$|A|=3^2=9$
$|B|=3$ ..giusto?

"Pappappero":Se ogni elemento di $A$ fosse prodotto di tre polinomi irriducibili, cosa dedurremmo a proposito di $g$?

Allora direi che g sarà per forza riducibile (sotto la nostra ipotesi però)..Non può capitare che un elemento di A è prodotto di 2 polinomi irriducibili?(quindi g irriducibile)

Per quanto riguarda B invece, ogni elemento è sicuramente prodotto di 3 polinomi irriducibili

[Pappappero1]

Ci siamo.

Quindi gli elementi di $B$ sono certamente fattorizzabili in tre polinomi irriducibili.

Sapresti scrivere un elemento di $A$ che non e' fattorizzabile in tre polinomi irriducibili? Per farlo, ci serve un $g$ di grado $2$ irriducibile. Come lo troviamo?

[gennarosdc]

"Pappappero":

Sapresti scrivere un elemento di $A$ che non e' fattorizzabile in tre polinomi irriducibili? Per farlo, ci serve un $g$ di grado $2$ irriducibile. Come lo troviamo?

abbiamo $g=x^2+1$ che è irriducibile perchè non ammette soluzioni in $Z_3[x]$.
(è questo l'unico metodo per trovare gli irriducibili con queste condizioni?Mi sa di si .. )

Di conseguenza abbiamo $f\inA:f=(x-1)*g$ che è prodotto di 2 polinomi irriducibili e quindi abbiamo smentito la proposizione
Grazie per l'aiuto

[Pappappero1]

Esatto. Polinomi di grado $2$ o $3$ sono irriducibili se e solo se non hanno radici (perche' se avessero un fattore proprio, allora avrebbero un fattore di grado $1$).

Il resto torna!