Esercizio su permutazioni, sottogruppi e generatori
Buongiorno a tutti, è la mia prima richiesta di aiuto su questo forum e spero vivamente che mi aiuti, poichè sono abbbatsanza bloccato su un esercizio dove sono in difficoltà.
Esercizio
Si consideri la permutazione
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 10 13 6 11 12 9 1 2 4 8 7 5
∈ S13.
Detto H := <σ^8440> , determinare |H|. Esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
Esibirlo se esiste, o motivare la risposta in caso contrario.
Dunque ho scomposto la permutazione in cicli disgiunti
(1 3 13 5 11 8) (2 10 4 6 12 7 9)
e ne ho calcolato l'ordine o(σ) = mcm (7,6) = 42
Per quanto riguarda H, so che se |G| = n (il periodo di G è uguale a n) , allora per ogni divisore s di n esiste un sottogruppo H di G con periodo |H| = s, in particolare con H =.
Quindi nel mio caso devo trovare un divisore s che divida 42 e divida 8440? Qualcuno sa suggerirmi la risposta?
Esercizio
Si consideri la permutazione
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 10 13 6 11 12 9 1 2 4 8 7 5
∈ S13.
Detto H := <σ^8440> , determinare |H|. Esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
Esibirlo se esiste, o motivare la risposta in caso contrario.
Dunque ho scomposto la permutazione in cicli disgiunti
(1 3 13 5 11 8) (2 10 4 6 12 7 9)
e ne ho calcolato l'ordine o(σ) = mcm (7,6) = 42
Per quanto riguarda H, so che se |G| = n (il periodo di G è uguale a n) , allora per ogni divisore s di n esiste un sottogruppo H di G con periodo |H| = s, in particolare con H =
Quindi nel mio caso devo trovare un divisore s che divida 42 e divida 8440? Qualcuno sa suggerirmi la risposta?
Risposte
$G$ deve essere ciclico però affinché tu possa affermare che esiste un sottogruppo di ordine un divisore di $n$, non è vero in generale, esempio $A_4$ ha 12 elementi ma non ha sottogruppi di ordine 6.
L'ordine di $H$ è $\frac{o(\sigma)}{\text{gcd}(8440,42)}=21$ essendo $H$ ciclico allora esiste un sottogruppo di ordine $3$ che è $<\sigma^{59080}>$
L'ordine di $H$ è $\frac{o(\sigma)}{\text{gcd}(8440,42)}=21$ essendo $H$ ciclico allora esiste un sottogruppo di ordine $3$ che è $<\sigma^{59080}>$
"dan95":
$G$ deve essere ciclico però affinché tu possa affermare che esiste un sottogruppo di ordine un divisore di $n$, non è vero in generale, esempio $A_4$ ha 12 elementi ma non ha sottogruppi di ordine 6.
L'ordine di $H$ è $\frac{o(\sigma)}{\text{gcd}(8440,42)}=21$ essendo $H$ ciclico allora esiste un sottogruppo di ordine $3$ che è $ sigma exp 59080 $
Grazie davvero.
Senti, posso chiederti come hai fatto a calcolare il sottogruppo di ordine 3 $ <\sigma^{59080}> $ ?
Hai moltiplicato l'ordine il generatore per l'ordine della perumtazione di ordine 7? perchè?
$\sigma$ ha ordine $42$, siccome $\text{gcd}(8440,42)=2$ abbiamo che $\sigma^{8440}$ ha ordine $21$, ora il sottogruppo di ordine 3 è generato da un unico elemento (essendo il gruppo H ciclico) che è la potenza $8440 \cdot \frac{21}{3}=8440 \cdot 7=59080$ di $\sigma$. Praticamente se tu hai un gruppi ciclico $$ di ordine $n$ il sottogruppo di ordine $k$ è generato dall'elemento $g^{n/k}$
Grazie davvero.
Sto avendo delle difficoltà a capire il concetto di generatore e purtroppo se non vedo tutti i calcoli ho difficoltà a seguire.
Grazie ancora davvero.
Sto avendo delle difficoltà a capire il concetto di generatore e purtroppo se non vedo tutti i calcoli ho difficoltà a seguire.
Grazie ancora davvero.
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