Esercizio su permutazioni e gruppi ciclici.
Salve a tutti, vi propongo un esercizio sulle permutazioni. Ve lo mostro per avere la possibilità di chiarire alcuni dubbi a riguardo (e non solo).
Siano date le seguenti permutazioni di S(6): σ=(1,2,3), τ=(4,5,6).
(a) Determinare un sottogruppo ciclico H di S(6) in modo che H contenga strettamente <στ> .
(b) Determinare un sottogruppo K di S(6) contenente {σ, τ} ed avente ordine 9.
(c) Provare che il sottogruppo K non è ciclico.
Ecco i miei dubbi:
(a) per determinare un gruppo ciclico, dovrei partire da un generatore α una cui potenza k sia uguale a στ e una cui potenza h sia uguale a (στ)^2 (perché questi sono gli elementi di <στ>, escluso id).
Ma come individuo questo generatore? Io ho supposto α=(1,4,2,5,3,6) dato che ha periodo 6 (e quindi il gruppo ciclico da esso generato ha ordine 6) e (α)^2=στ, (α)^4=(στ)^2.
C'è un metodo rigoroso per individuare questo generatore? O bisogna andare per tentativi come ho fatto io?
(b) Innanzitutto pongo una domanda che non è relativa a questo esercizio: mi è capitato di trovare esercizi nei quali veniva richiesto di individuare, se possibile, un sottogruppo di S(16) che avesse un certo ordine. A cosa si riferisce "se possibile"? Cioè, quali condizioni devono essere verificate perché il sottogruppo possa essere individuato? E perché in questo esercizio viene omesso "se possibile"?
Ritornando all'esercizio, non capisco come determinare il gruppo K. Fosse per me inserirei elementi a caso, fino a che la definizione di gruppo non è verificata
(c) non ho dubbi a riguardo per il momento, ma potrebbero sorgere dopo un'eventuale risposta al post.
Siano date le seguenti permutazioni di S(6): σ=(1,2,3), τ=(4,5,6).
(a) Determinare un sottogruppo ciclico H di S(6) in modo che H contenga strettamente <στ> .
(b) Determinare un sottogruppo K di S(6) contenente {σ, τ} ed avente ordine 9.
(c) Provare che il sottogruppo K non è ciclico.
Ecco i miei dubbi:
(a) per determinare un gruppo ciclico, dovrei partire da un generatore α una cui potenza k sia uguale a στ e una cui potenza h sia uguale a (στ)^2 (perché questi sono gli elementi di <στ>, escluso id).
Ma come individuo questo generatore? Io ho supposto α=(1,4,2,5,3,6) dato che ha periodo 6 (e quindi il gruppo ciclico da esso generato ha ordine 6) e (α)^2=στ, (α)^4=(στ)^2.
C'è un metodo rigoroso per individuare questo generatore? O bisogna andare per tentativi come ho fatto io?
(b) Innanzitutto pongo una domanda che non è relativa a questo esercizio: mi è capitato di trovare esercizi nei quali veniva richiesto di individuare, se possibile, un sottogruppo di S(16) che avesse un certo ordine. A cosa si riferisce "se possibile"? Cioè, quali condizioni devono essere verificate perché il sottogruppo possa essere individuato? E perché in questo esercizio viene omesso "se possibile"?
Ritornando all'esercizio, non capisco come determinare il gruppo K. Fosse per me inserirei elementi a caso, fino a che la definizione di gruppo non è verificata
(c) non ho dubbi a riguardo per il momento, ma potrebbero sorgere dopo un'eventuale risposta al post.
Risposte
Per scrivere il LaTex devi mettere l'equazione tra il simbolo del $.
Es.
\$ x^2 \$
$x^2$
Es.
\$ x^2 \$
$x^2$
Grazie 
sapresti dirmi anche come scrivere le permutazioni in forma matriciale? 
sapresti dirmi anche come scrivere le permutazioni in forma matriciale?
\$ ((1,2,3,4,5),(2,3,4,5,1)) \$
Scrive:
$ ((1,2,3,4,5),(2,3,4,5,1)) $
Scrive:
$ ((1,2,3,4,5),(2,3,4,5,1)) $
Grazie ancora 
Ti rispondo alla domanda b) ogni gruppo finito di ordine $n$ contiene almeno un p-Sylow, con $p$ primo, cioè un sottogruppo di ordine $p^{\alpha}$ dove $\alpha$ è tale che $p^{\alpha} | n$ ma $p^{\alpha+1}$ non lo divide. In questo caso $p=3$ e $\alpha=2$ quindi c'è sicuramente un 3-sylow di ordine 9.
Per trovare $K$ basta che lo costruisci, allora deve contenere $\sigma$ e $\tau$ dunque anche le loro potenze quindi già cinque elementi li hai trovati te ne mancano 4, altri due li trovi facendo il prodotto di $\sigma$ e $\tau$, ti viene un elemento di ordine 3 quindi avrai anche la sua seconda potenza nel sottogruppo, fino adesso abbiamo:
$$e,\sigma,\sigma^2,\tau,\tau^2,\sigma\tau,(\sigma\tau)^2$$
Prova a moltiplicarli tra loro e trovare gli altri due elementi mancanti.
$$e,\sigma,\sigma^2,\tau,\tau^2,\sigma\tau,(\sigma\tau)^2$$
Prova a moltiplicarli tra loro e trovare gli altri due elementi mancanti.
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