Esercizio su permutazioni

[Jhonny777]

Buon giorno, ho un problema con questo esercizio:
Sia $\sigma$ il seguente elemento di S11
$\sigma$=( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11)
( 11 7 4 8 9 6 1 3 5 10 2 )
1) Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, se ne stabilisca l'ordine e la parità.
2) Stabilire se $\langle$ $\sigma$ $\rangle$, il sottogruppo di S11 generato da $\sigma$, è un sottogruppo normale di S11.

Allora per il punto uno ci dovrei essere scrivo $\sigma$ come (1 11 2 7)(3 4 8)(59) che ha ordine 12 ed è pari.
Per il punto due non saprei, come faccio? Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.

[vict85]

Puoi trovare un controesempio ovvero un \(\tau\) tale che \(\tau\sigma\tau^{-1}\) non sia un multiplo di \(\sigma\). Per esempio potrebbe non fissare 6 e 10.

[Jhonny777]

Sto provando a trovarlo ma non ci sto riuscendo, mi potresti dire come fare?

[vict85]

Il risultato deriva dal seguente:

Proposizione Sia \(\displaystyle \tau\in S_n \) e \(\displaystyle (a_1\,\dotsc\,a_s) \in S_n \) un ciclo, allora \(\displaystyle \tau(a_1\,\dotsc\,a_s) \tau^{-1} = (\tau(a_1)\,\dotsc\,\tau(a_s)) \).

Una dimostrazione la puoi trovare qui, ma puoi provare a dimostrarlo per conto tuo. Quindi ti basta trovare una permutazione che ha lo stesso cycle type ma che non è nel sottogruppo generato da quella permutazione.