Esercizio su omomorfismi di gruppi
Vorrei proporvi un esercizio:
Siano \(\displaystyle G,H,K \) gruppi, \(\displaystyle f:G \rightarrow H, g:G \rightarrow K \) omomorfismi di gruppi (con \(\displaystyle g \) suriettivo) e \(\displaystyle \ker g \subseteq \ker f \).
Si dimostri che esiste un omomorfismo \(\displaystyle h:K \rightarrow H \) tale che \(\displaystyle f=h \circ g \), che tale omomorfismo è unico e che \(\displaystyle \ker h= g( \ker f) \)
Per quanto riguarda il primo punto (dimostrare l'esistenza di \(\displaystyle h \)) sono abbastanza a corto di idee (gli altri punti ancora non li ho visti perché il primo è propedeutico rispetto agli altri)... Non vi chiedo di risolverlo, poiché non sarebbe giusto considerando che non ho proposto soluzioni.... Tuttavia mi piacerebbe avere uno spunto per poter attaccare il problema in qualche modo... Per poter sbloccarmi e iniziare risolvere almeno il primo punto.... Perché non saprei da dove iniziare purtroppo..
Ovviamente, grazie da ora!
Siano \(\displaystyle G,H,K \) gruppi, \(\displaystyle f:G \rightarrow H, g:G \rightarrow K \) omomorfismi di gruppi (con \(\displaystyle g \) suriettivo) e \(\displaystyle \ker g \subseteq \ker f \).
Si dimostri che esiste un omomorfismo \(\displaystyle h:K \rightarrow H \) tale che \(\displaystyle f=h \circ g \), che tale omomorfismo è unico e che \(\displaystyle \ker h= g( \ker f) \)
Per quanto riguarda il primo punto (dimostrare l'esistenza di \(\displaystyle h \)) sono abbastanza a corto di idee (gli altri punti ancora non li ho visti perché il primo è propedeutico rispetto agli altri)... Non vi chiedo di risolverlo, poiché non sarebbe giusto considerando che non ho proposto soluzioni.... Tuttavia mi piacerebbe avere uno spunto per poter attaccare il problema in qualche modo... Per poter sbloccarmi e iniziare risolvere almeno il primo punto.... Perché non saprei da dove iniziare purtroppo..
Ovviamente, grazie da ora!
Risposte
Per il primo punto: innanzitutto esplicita cosa vuol dire che \(\displaystyle \ker{g}\subseteq \ker{f} \) ; poi prova a costruirti esplicitamente \(\displaystyle h \), giustificando che è ben-definita utilizzando la proprietà appena ricavata
"bestiedda2":
Per il primo punto: innanzitutto esplicita cosa vuol dire che \(\displaystyle \ker{g}\subseteq \ker{f} \) ; poi prova a costruirti esplicitamente \(\displaystyle h \), giustificando che è ben-definita utilizzando la proprietà appena ricavata
Non so se la strada è giusta, ma considerando che \(\displaystyle \ker{g}\subseteq \ker{f} \) e che è facile dimostrare che \(\displaystyle \ker f \unlhd G \) e \(\displaystyle \ker g \unlhd G \), allora si ottiene, per un corollario del teorema di corrispondenza per i gruppi (che purtroppo non mi è molto chiaro ancora
) che i sottogruppi del quoziente \(\displaystyle G/ \ker g \) sono tutti e soli i gruppi del tipo \(\displaystyle \ker f / \ker g \) (spero di non aver sbagliato a enunciare)....Da qui non saprei come procedere.. In fondo si ha che \(\displaystyle \ker f, \ker g \subseteq G \), mentre \(\displaystyle h:K \rightarrow H \)... D'altra parte non saprei quale altra prorprietà estrapolare da \(\displaystyle \ker{g}\subseteq \ker{f} \). :-/
molto più elementare: se \(\displaystyle \ker{g}\subseteq \ker{f} \) , allora \(\displaystyle f \) è compatibile con la fibra di \(\displaystyle g \) , ossia con la relazione di equivalenza \(\displaystyle x\equiv y \Leftrightarrow g(x)=g(y) \) su \(\displaystyle G \). Infatti, \(\displaystyle x\equiv y \Rightarrow xy^{-1} \in \ker{g} \) (perchè?) e questo implica \(\displaystyle xy^{-1} \in \ker{f} \Rightarrow f(x)=f(y) \) .
In spoiler metto un suggerimento per continuare il ragionamento:
PS. questo esercizio è praticamente il primo teorema d'ìsomorfismo per i gruppi, sto presupponendo che tu non lo conosca, altrimenti la risposta è immediata...
In spoiler metto un suggerimento per continuare il ragionamento:
PS. questo esercizio è praticamente il primo teorema d'ìsomorfismo per i gruppi, sto presupponendo che tu non lo conosca, altrimenti la risposta è immediata...
"bestiedda2":
molto più elementare: se \(\displaystyle \ker{g}\subseteq \ker{f} \) , allora \(\displaystyle f \) è compatibile con la fibra di \(\displaystyle g \) , ossia con la relazione di equivalenza \(\displaystyle x\equiv y \Leftrightarrow g(x)=g(y) \) su \(\displaystyle G \). Infatti, \(\displaystyle x\equiv y \Rightarrow xy^{-1} \in \ker{g} \) (perchè?) e questo implica \(\displaystyle xy^{-1} \in \ker{f} \Rightarrow f(x)=f(y) \) .
In spoiler metto un suggerimento per continuare il ragionamento:
PS. questo esercizio è praticamente il primo teorema d'ìsomorfismo per i gruppi, sto presupponendo che tu non lo conosca, altrimenti la risposta è immediata...
Ti ringrazio dell'aiuto!
Comunque per mia negligenza ancora non ho trattato il primo teorema di isomorfismo, nonostante fosse sulla lista delle cose da fare.... Il fatto è che sto avendo alcuni problemi con la comprensione dei teoremi sugli omomorfismi di gruppi.. Quindi cercavo di aiutarmi con alcuni esercizi, tramite un piccolo input a risolverli....Comunque, ti rispondo: \(\displaystyle x,y \in G \) si ha che \(\displaystyle g(x)=g(y) \Rightarrow g(x)g(y)^{-1}=1_K \Rightarrow g(xy^{-1})=1_K \Rightarrow xy^{-1} \in \ker g \Rightarrow xy^{-1} \in \ker f \Rightarrow f(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}=1_H \Rightarrow f(x)=f(y) \)
Ora provo a continuare senza guardare lo spoiler con l'aiuto... In caso se non riesco sbircio un po'.... Anche se preferirei farcela da solo ora.... Grazie! Ti faccio sapere come va!
Finora tutto ok
se non conosci il teorema, è un ottimo esercizio da risolvere da soli, e poi da confrontare con quello che c'è scritto nel libro/dispense (ossia confrontare il ruolo del gruppo \(\displaystyle K \) con quello dei gruppo quoziente)
fammi sapere
se non conosci il teorema, è un ottimo esercizio da risolvere da soli, e poi da confrontare con quello che c'è scritto nel libro/dispense (ossia confrontare il ruolo del gruppo \(\displaystyle K \) con quello dei gruppo quoziente)
fammi sapere
Ho dato un'occhiata al primo teorema d'isomorfismo (senza farne la dimostrazione).... Per il primo teorema d'isomorfismo si ha che \(\displaystyle G/ \ker g \cong g(G)=K \). L'ultima uguglianza deriva dal fatto che \(\displaystyle g \) è suriettivo e permette di dedurre che esiste una biiezione tra \(\displaystyle G/ \ker g \) e \(\displaystyle K \). Da qui si potrebbe usare la proprietà universale del nucleo (enunciata qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_isomorfismo)? Bisgona considerare che \(\displaystyle K \) è isomorfo a \(\displaystyle G/ \ker g \), ma da questo non deriva che \(\displaystyle K \unlhd G \), o sbaglio? 
"Zuzzerello":
Ho dato un'occhiata al primo teorema d'isomorfismo (senza farne la dimostrazione).... Per il primo teorema d'isomorfismo si ha che \(\displaystyle G/ \ker g \cong g(G)=K \). L'ultima uguglianza deriva dal fatto che \(\displaystyle g \) è suriettivo e permette di dedurre che esiste una biiezione tra \(\displaystyle G/ \ker g \) e \(\displaystyle K \). Da qui si potrebbe usare la proprietà universale del nucleo (enunciata qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_isomorfismo)? Bisgona considerare che \(\displaystyle K \) è isomorfo a \(\displaystyle G/ \ker g \), ma da questo non deriva che \(\displaystyle K \unlhd G \), o sbaglio?
Allora, di fatto l'esercizio ti chiede una dimostrazione della proprietà universale del nucleo. Difatti, il ruolo svolto dal gruppo quoziente nell'esercizio è svolto dal gruppo \(\displaystyle K \). Come hai detto bene tu, \(\displaystyle K \) è infatti isomorfo al gruppo quoziente \(\displaystyle G/\ker g \). Fai così: prova a guardare il mio hint, dimostra l'esercizio e poi prova a dimostrare la proprietà universale del nucleo e, come corollario, il teorema di isomorfismo.
"bestiedda2":
[quote="Zuzzerello"]Ho dato un'occhiata al primo teorema d'isomorfismo (senza farne la dimostrazione).... Per il primo teorema d'isomorfismo si ha che \(\displaystyle G/ \ker g \cong g(G)=K \). L'ultima uguglianza deriva dal fatto che \(\displaystyle g \) è suriettivo e permette di dedurre che esiste una biiezione tra \(\displaystyle G/ \ker g \) e \(\displaystyle K \). Da qui si potrebbe usare la proprietà universale del nucleo (enunciata qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_isomorfismo)? Bisgona considerare che \(\displaystyle K \) è isomorfo a \(\displaystyle G/ \ker g \), ma da questo non deriva che \(\displaystyle K \unlhd G \), o sbaglio?
Allora, di fatto l'esercizio ti chiede una dimostrazione della proprietà universale del nucleo. Difatti, il ruolo svolto dal gruppo quoziente nell'esercizio è svolto dal gruppo \(\displaystyle K \). Come hai detto bene tu, \(\displaystyle K \) è infatti isomorfo al gruppo quoziente \(\displaystyle G/\ker g \). Fai così: prova a guardare il mio hint, dimostra l'esercizio e poi prova a dimostrare la proprietà universale del nucleo e, come corollario, il teorema di isomorfismo.[/quote]
D'accordo... Ora riguardo un po' di teoria (anche perché mi son reso conto di avere ancora le idee un po' confuse su alcune cose)! Dopodiché riprovo a fare tutto ciò... Magari staccare mi aiuta ad avere nuove idee dopo.... Per ora grazie mille della disponibilità! Appena possibile posto qualcosa!
Aggiornamento:
Scusa se ci metto una vita... Sono anche alle prese con alcuni argomenti di teoria poco compresi... Sto facendo a ****tti con i domini euclidei! XD
Comunque: eravamo rimasti al fatto che \(\displaystyle G / \ker f \cong K \), quindi esiste una biiezione tra i due.. per cui basterebbe definire \(\displaystyle g \) tramite questo fatto... Tuttavia quanto appena detto deriva dal primo teorema d'isomorfismo... Ma se tu mi chiedi di dimostrare l'esecizio per poi dimostrare il primo teorema d'isomorfismo come corollario della proprietà universale del nucleo, allora quanto appena detto non è più provato, quindi non serve... O sbaglio? In breve, dovrei provare a risolverlo immaginando che il primo teorema d'isomorfismo e la proprietà universale del nucleo non "esistano"?
Scusa se ci metto una vita... Sono anche alle prese con alcuni argomenti di teoria poco compresi... Sto facendo a ****tti con i domini euclidei! XD
Comunque: eravamo rimasti al fatto che \(\displaystyle G / \ker f \cong K \), quindi esiste una biiezione tra i due.. per cui basterebbe definire \(\displaystyle g \) tramite questo fatto... Tuttavia quanto appena detto deriva dal primo teorema d'isomorfismo... Ma se tu mi chiedi di dimostrare l'esecizio per poi dimostrare il primo teorema d'isomorfismo come corollario della proprietà universale del nucleo, allora quanto appena detto non è più provato, quindi non serve... O sbaglio? In breve, dovrei provare a risolverlo immaginando che il primo teorema d'isomorfismo e la proprietà universale del nucleo non "esistano"?
non ti ho detto che devi usare il teorema di isomorfismo, ed infatti non lo devi usare....hai letto il mio hint? Se ti sembra più facile prova a dimostrare da solo la proprietà universale del nucleo e poi prova a risolvere l'esercizio, le dimostrazioni sono praticamente identiche.
Sì! Ho visto lo spoiler! Tuttavia mi blocco nel momento in cui devo definire \(\displaystyle h \), poiché senza affidarmi al primo teorema d'isomorfismo non saprei come definirla in modo che sia ben definita e in modo che sia un omomorfismo.... Mannaggia... 
"Zuzzerello":
Sì! Ho visto lo spoiler! Tuttavia mi blocco nel momento in cui devo definire \(\displaystyle h \), poiché senza affidarmi al primo teorema d'isomorfismo non saprei come definirla in modo che sia ben definita e in modo che sia un omomorfismo.... Mannaggia...
non pensare al fatto che sia un omomorfismo, esiste un unico modo per definire una FUNZIONE con quelle proprietà...poi verifichi che sia un omomorfismo..
Non hai idea di quanto mi dispiaccia ammetterlo, ma sarò sincero: è da un po' che ci penso ma non ho proprio idea di come definire \(\displaystyle h \).... Sarà che sto andando a cercare soluzioni elaborate (mentre invece la soluzione è più banale di quanto credo) o sarà che ci sto fissato da troppo tempo... Prima avevo pensato di partire dal fatto che \(\displaystyle g(1_G)=1_K \) e che \(\displaystyle f(1_G)=1_H \); quindi possiamo scegliere \(\displaystyle h \) in modo che \(\displaystyle h(g(1_G))=h(1_K)=f(1_G)=1_H \)... Non so dove mi avrebbe portato e comunque, da ciò che mi dici, questa non è la strada giusta... Ti confesso che la cosa mi fa sentire piuttosto male T.T mi incoraggia solo il fatto che su tutti gli esercizi provati, questo è uno dei pochi su cui non so veramente da dove partire nonostante i numerosi consigli.......
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