Esercizio su numeri interi
Ciao a tutti,
ho un piccolo dubbio su un problema con gli interi, ve lo sottopongo:
Sia k un naturale dispari. Considerare k interi consecutivi e mostrare che la loro somma è divisibile per k. Cosa si può dire se k è pari?
Io ho lavorato considerando una progressione aritmetica di k interi consecutivi e ho mostrato che la somma è divisibile per k...non mi convince. Qualche idea?
Grazie
ho un piccolo dubbio su un problema con gli interi, ve lo sottopongo:
Sia k un naturale dispari. Considerare k interi consecutivi e mostrare che la loro somma è divisibile per k. Cosa si può dire se k è pari?
Io ho lavorato considerando una progressione aritmetica di k interi consecutivi e ho mostrato che la somma è divisibile per k...non mi convince. Qualche idea?
Grazie
Risposte
Prendiamo $k$ interi consecutivi:
$a,a+1,a+2,...,a+(k-2),a+(k-1)$.
Facciamo la somma: $sum_{i=0}^{k-1} (a+i)= [sum_{i=0}^{k-1} a]+[sum_{i=0}^{k-1} i]= k*a + (k*(k-1))/2$
Ora, siccome $k$ è dispari, $k-1$ è pari, quindi $(k-1)/2$ è un numero intero.
Quindi la nostra somma è uguale a $k*[a+(k-1)/2]$, che è ovviamente un multiplo di $k$.
$a,a+1,a+2,...,a+(k-2),a+(k-1)$.
Facciamo la somma: $sum_{i=0}^{k-1} (a+i)= [sum_{i=0}^{k-1} a]+[sum_{i=0}^{k-1} i]= k*a + (k*(k-1))/2$
Ora, siccome $k$ è dispari, $k-1$ è pari, quindi $(k-1)/2$ è un numero intero.
Quindi la nostra somma è uguale a $k*[a+(k-1)/2]$, che è ovviamente un multiplo di $k$.
Chiarissimo, grazie mille.
Ora prova a dirmi tu: cosa si può dire se $k$ è pari?
Per $k$ pari il numero non è un multiplo di $k$, perchè considerando il prodotto $k(a+(k-1)/2)$ il secondo fattore non è intero. Tuttavia puoi riscriverlo $k/2(2a+k-1)$, questo caso tutti e due i fattori sono interi, e puoi dedurre che la somma è multiplo di $k/2$
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