Esercizio su numeri algebrici

[grillo12]

dato il numero $root(3)(13)=u$
1) calcolare il polinomio minimo di u su Q
2) se a è una radfice di pu diversa da u è vero che Q(u)$~=$Q(a)?
3)$root(2)(13)$ appartiene a Q(u)?
non ho problemi col primo punto ma il secondo e il terzo mi mettono in difficoltà, con pu intendo il polinomio minimo di u su Q

[Shocker1]

Per il punto 2, osserva che $\mathbb{Q}(u) ~= \frac{\mathbb{Q}[x]}{(p_u(x))} ~= \mathbb{Q}(a)$(perché?) dove $a$ è una radice distinta da $u$ di $p_u(x) \in Q[x]$, occhio però che questa cosa vale solo se il polinomio è irriducibile su $\mathbb{Q}[x]$ e non sempre i due campi coincidono!
Riusciresti ad esplicitare l'isomorfismo da $\mathbb{Q}(u)$ in $ \mathbb{Q}(a)$? In particolare, dove viene mandato $u$?

3)Come si rappresentano gli elementi di $Q(u)$?

[grillo12]

2) l'isomorfismo è chiaro ora xke essendo pu irriducibile per def ho che è anche il polinomio minimo di a e quindi è isomorfo allo stesso quoziente, però in questo modo verrebbe che i due campi sono sempre isomorfi
3) sono della forma a+cx+b$x^2$

[Shocker1]

"grillo1":2) l'isomorfismo è chiaro ora xke essendo pu irriducibile per def ho che è anche il polinomio minimo di a e quindi è isomorfo allo stesso quoziente, però in questo modo verrebbe che i due campi sono sempre isomorfi
3) sono della forma a+cx+b$x^2$

Esatto, il risultato di questo esercizio viene generalizzato da questo bel teorema: sia $\mathbb{K} \subset \mathbb{L}$, sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\mathbb{K}[x]$ che ha due radici distine $\alpha, \beta \in \mathbb{L}$. Allora esiste un isomorfismo $\theta: \mathbb{K}(\alpha) \to \mathbb{K}(\beta)$ tale che $\theta(\alpha) = \beta$ e $\theta$ ristretto a $\mathbb{K}$ è l'identità.

3)Bene, però al posto della $x$ dovresti mettere $u$, sai perché?
Ora devi dimostrare che non esistono $a, b, c \in \mathbb{Q}$ tali che $a + bu + bu^2 = \sqrt(13)$(devi fare un po' di calcoli).

[grillo12]

Ok grazie mille, l'unica cosa è che non so xke ci andrebbe scritto u

[Shocker1]

"grillo1":Ok grazie mille, l'unica cosa è che non so xke ci andrebbe scritto u

Perché $\mathbb{Q}(u)$ è un $\mathbb{Q}$-spazio vettoriale di dimensione tre e una base di tale spazio è proprio ${1, u, u^2}$.