Esercizio su MCD, congruenze
Buongiorno a tutti.
Ho un problema in un esercizio di algebra I (probabilmente dovuto ai miei ricordi un po' annebbiati).
Sia $n=p^km$, $p$ primo, $(p,m)=1$. Sia $b+p^kZZ$ un generatore del gruppo ciclico $U(ZZ/(p^kZZ))$. Considero il seguente sistema alle congruenze:
$ { ( x-=1 modm ),( x-=b mod p^k ):} $
$(p,m)=1$ $ rArr $ il sistema ammette soluzione. Sia $a$ una soluzione del sistema. Voglio mostrare che $(a,n)=1$.
In realtà ho come l'impressione che il fatto sia piuttosto ovvio ma non riesco a vederlo con chiarezza. L'esercizio è in realtà parte della dimostrazione che un numero di Carmichael è libero da quadrati. Dunque può essere che alcune delle ipotesi neanche siano necessarie per risolvere l'esercizio (in particolare credo non sia necessario usare il fatto che $a-=b mod p^k$)
Grazie mille per l'attenzione.
Ho un problema in un esercizio di algebra I (probabilmente dovuto ai miei ricordi un po' annebbiati).
Sia $n=p^km$, $p$ primo, $(p,m)=1$. Sia $b+p^kZZ$ un generatore del gruppo ciclico $U(ZZ/(p^kZZ))$. Considero il seguente sistema alle congruenze:
$ { ( x-=1 modm ),( x-=b mod p^k ):} $
$(p,m)=1$ $ rArr $ il sistema ammette soluzione. Sia $a$ una soluzione del sistema. Voglio mostrare che $(a,n)=1$.
In realtà ho come l'impressione che il fatto sia piuttosto ovvio ma non riesco a vederlo con chiarezza. L'esercizio è in realtà parte della dimostrazione che un numero di Carmichael è libero da quadrati. Dunque può essere che alcune delle ipotesi neanche siano necessarie per risolvere l'esercizio (in particolare credo non sia necessario usare il fatto che $a-=b mod p^k$)
Grazie mille per l'attenzione.
Risposte
Ti rammento che \(\displaystyle b\) è coprimo con \(\displaystyle p^k\)!
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