Esercizio su MCD

[HowardRoark]

Verifica che se $n_1$ divide $a-b$ e $n_2$ divide $a-b$:

1) allora $n$ divide $a-b$, con $n= mcm(n_1,n_2)$

2) quindi, se $MCD(n_1,n_2) =1$, allora $n_1*n_2$ divide $a-b$

Premesso che dalla 1) discende la 2), si dice che la 2 in realtà è ovvia e si potrebbe dimostrare da sola. Sarò scemo io ma non vedo l' ovvietà.

Se $MCD(n_1,n_2) =1$, allora $n_1$ e $n_2$ sono coprimi e $mcm(n_1,n_2) = n_1*n_2 =n$. Perché questo dovrebbe implicare che $n$ divide $a-b$?
Ovviamente la voglio dimostrare senza utilizzare la 1)

[HowardRoark]

Sarebbe ovvio perché, in tal caso, $a-b$ sarebbe proprio l' mcm?
Se $n_1$ e $n_2$ non hanno divisori comuni, allora, se dividono entrambi uno stesso numero, questo deve essere l' mcm tra loro due (o multipli di esso), $n_1*n_2$. Suona più o meno così la cosa.

[axpgn]

Perché $MCD*mcm=n_1*n_2$

[HowardRoark]

Quindi, con le ipotesi che ho riportato sopra, $a-b$ sarebbe l'$mcm$ o un suo multiplo, e quindi sarebbe ovvio ora dire che $n$ divida $a-b$.
Comunque la relazione che hai riportato la ignoravo, domani provo a dimostrarla.

[gugo82]

Il fatto che $n_1,n_2 | (a-b)$ equivale a dire che $a-b$ è un multiplo comune di $n_1$ ed $n_2$; dato che ogni multiplo comune di $n_1$ ed $n_2$ è multiplo di $n="mcm"(n_1,n_2)$[nota]Il che è un modo elementare di dire che $n$ è un generatore dell'anello $n_1ZZ nn n_2ZZ$.[/nota], è chiaro che $n|(a-b)$.

D'altra parte, se $"MCD"(n_1,n_2) = 1$ (cioè se $n_1$ ed $n_2$ sono primi fra loro o coprimi che fa fredd..., No, che dir si voglia), allora è elementare che $"mcm"(n_1,n_2)=n_1n_2$, quindi hai finito.

[HowardRoark]

Grazie mille!