Esercizio su Massimo Comun Divisore
Siano \(\displaystyle a, b, c \in Z \) mostrare che:
\(\displaystyle ( b, c ) = 1 \Rightarrow ( a, bc ) = ( a, b ) ( a, c ) \)
Ho fatto una dimostrazione ma mi pare un po' contorta, mi potete dire se c'è un modo più semplice e meno laborioso? Grazie
Ecco la mia:
Sia \(\displaystyle d_1 = ( a, bc ) \) allora, poiché \(\displaystyle ( b, c ) = 1 \) possiamo affermare che \(\displaystyle \exists x_1 , x_2 \in Z : d_1 = x_1 x_2 ,\ {} x_1 | b ,\ {} x_2 | c , \ {} ( x_1 , x_2 ) = 1 \)
Sia allora \(\displaystyle b = k x_1 ,\ {} c = t x_2 \ {} k, t \in Z \) e poniamo \(\displaystyle a = h d_1 h \in Z \)
Allora si ha che \(\displaystyle ( a, b ) = ( h d_1 , k x_1 ) = ( h x_1 x_2 , k x_1 ) = x_1 ( h, k ) \) ma \(\displaystyle ( h, k ) = 1 \) poiché altrimenti si avrebbe che \(\displaystyle ( a, bc ) = ( h d_1 , k x_1 t x_2 ) = d_1 ( h, k ) \neq d_1 \) contro le ipotesi. Allora si ha che \(\displaystyle ( a, b ) = x_1 \) e allo stesso modo si dimostra che \(\displaystyle ( a, c ) = x_2 \). Allora \(\displaystyle ( a, b ) ( a, c ) = x_1 x_2 = d_1 \)
\(\displaystyle ( b, c ) = 1 \Rightarrow ( a, bc ) = ( a, b ) ( a, c ) \)
Ho fatto una dimostrazione ma mi pare un po' contorta, mi potete dire se c'è un modo più semplice e meno laborioso? Grazie
Ecco la mia:
Sia \(\displaystyle d_1 = ( a, bc ) \) allora, poiché \(\displaystyle ( b, c ) = 1 \) possiamo affermare che \(\displaystyle \exists x_1 , x_2 \in Z : d_1 = x_1 x_2 ,\ {} x_1 | b ,\ {} x_2 | c , \ {} ( x_1 , x_2 ) = 1 \)
Sia allora \(\displaystyle b = k x_1 ,\ {} c = t x_2 \ {} k, t \in Z \) e poniamo \(\displaystyle a = h d_1 h \in Z \)
Allora si ha che \(\displaystyle ( a, b ) = ( h d_1 , k x_1 ) = ( h x_1 x_2 , k x_1 ) = x_1 ( h, k ) \) ma \(\displaystyle ( h, k ) = 1 \) poiché altrimenti si avrebbe che \(\displaystyle ( a, bc ) = ( h d_1 , k x_1 t x_2 ) = d_1 ( h, k ) \neq d_1 \) contro le ipotesi. Allora si ha che \(\displaystyle ( a, b ) = x_1 \) e allo stesso modo si dimostra che \(\displaystyle ( a, c ) = x_2 \). Allora \(\displaystyle ( a, b ) ( a, c ) = x_1 x_2 = d_1 \)
Risposte
Ti va cosi’?
Siano $I,J, K$ ideali di un anello commutativo $A$
con $I+J=A$. Allora $I+JK = (I+J)(I+K)$.
Dim. L’inclusione “$\subset$” segue dal fatto che
$I = I(J+K)$. L’altra inclusione e’ banale.
Siano $I,J, K$ ideali di un anello commutativo $A$
con $I+J=A$. Allora $I+JK = (I+J)(I+K)$.
Dim. L’inclusione “$\subset$” segue dal fatto che
$I = I(J+K)$. L’altra inclusione e’ banale.
Eheh per quanto ho fatto finora quello che hai scritto è arabo. Non ho ancora iniziato gli anelli. La mia dimostrazione va bene?
"jJjjJ":
∃x1,x2∈Z:d1=x1x2, x1|b, x2|c, (x1,x2)=1
Perche' e' vero? Chi sono $x_1,x_2$?
Lo so dimostrare: prendo $x_1=mcd(a,b)$ e $x_2=mcd(a,c)$ ... etc. Ma non e' proprio
questo che va dimostrato?
No ho sottinteso questo:
\(\displaystyle d_1 = ( a, bc ) \) allora sicuramente si ha che \(\displaystyle d_1 | a , d_1 | bc \) dall'ultima relazione, poiché \(\displaystyle ( b, c ) = 1 \) per ipotesi, si ha che \(\displaystyle d_1 | bc \Rightarrow \exists x_1, x_2 \in Z : x_1 | b, x_2 | c, x_1 x_2 = d_1 \) perché il prodotto \(\displaystyle bc \) , essendo divisibile per \(\displaystyle d_1 \) , dovrà "contenere" la fattorizzazione di d_1, ovvero \(\displaystyle bc = x d_1, x \in Z \), e se \(\displaystyle ( x_1, x_2 ) \neq 1 \) allora si avrebbe che \(\displaystyle (b, c) \neq 1 \) contro le ipotesi
\(\displaystyle d_1 = ( a, bc ) \) allora sicuramente si ha che \(\displaystyle d_1 | a , d_1 | bc \) dall'ultima relazione, poiché \(\displaystyle ( b, c ) = 1 \) per ipotesi, si ha che \(\displaystyle d_1 | bc \Rightarrow \exists x_1, x_2 \in Z : x_1 | b, x_2 | c, x_1 x_2 = d_1 \) perché il prodotto \(\displaystyle bc \) , essendo divisibile per \(\displaystyle d_1 \) , dovrà "contenere" la fattorizzazione di d_1, ovvero \(\displaystyle bc = x d_1, x \in Z \), e se \(\displaystyle ( x_1, x_2 ) \neq 1 \) allora si avrebbe che \(\displaystyle (b, c) \neq 1 \) contro le ipotesi
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