Esercizio su inverse e bigettività: mia soluzione differente
Stavo facendo un esercizio, ma la soluzione trovata è diversa da quella che ci si aspettava dal testo:
Data l'applicazione bigettiva $ z: ZZ -> ZZ, z(n)=n+7 $ , si consideri l'insieme
$ A=[f:ZZ->ZZ] $ e l'applicazione $ a:A->A $ defi nita da
$ a(f)=z^(-1) @ f @ z $
(a) Provare che $ a $ non e l'applicazione identica su $ A $.
(b) Provare che $ a $ e bigettiva e determinare la sua inversa.
Ho calcolato $ z^(-1)(n)=n-7 $
Per il punto (a) ho considerato come controesempio $ f(n)=|n| $
e $ a(f(-11))=|-11+7|-7=|-4|-7=-3 $ dimostrando quindi che esiste una funzione in $ A $ per cui $ a $ non è l'applicazione identica.
Per il punto (b) però devo negare che è bigettiva in quanto con lo stesso esempio di prima $ a(f(-11)) $ e $ a(f(-3)) $ hanno entrambe - 3 come immagine.
Dove sbaglio?
modificato: $ a(f(3)) $ in $ a(f(-3)) $
Data l'applicazione bigettiva $ z: ZZ -> ZZ, z(n)=n+7 $ , si consideri l'insieme
$ A=[f:ZZ->ZZ] $ e l'applicazione $ a:A->A $ defi nita da
$ a(f)=z^(-1) @ f @ z $
(a) Provare che $ a $ non e l'applicazione identica su $ A $.
(b) Provare che $ a $ e bigettiva e determinare la sua inversa.
Ho calcolato $ z^(-1)(n)=n-7 $
Per il punto (a) ho considerato come controesempio $ f(n)=|n| $
e $ a(f(-11))=|-11+7|-7=|-4|-7=-3 $ dimostrando quindi che esiste una funzione in $ A $ per cui $ a $ non è l'applicazione identica.
Per il punto (b) però devo negare che è bigettiva in quanto con lo stesso esempio di prima $ a(f(-11)) $ e $ a(f(-3)) $ hanno entrambe - 3 come immagine.
Dove sbaglio?
modificato: $ a(f(3)) $ in $ a(f(-3)) $
Risposte
a(f(3))=|3+7|-7=10-7=3 e non -3
per l'ingettività: [tex]$a(f)=a(g) \iff z^{-1}f z=z^{-1}gz \iff zz^{-1}fz z^{-1}=zz^{-1}gzz^{-1}\iff f=g$[/tex]
e quindi [tex]a^{-1}(f)=zfz^{-1}[/tex]
per l'ingettività: [tex]$a(f)=a(g) \iff z^{-1}f z=z^{-1}gz \iff zz^{-1}fz z^{-1}=zz^{-1}gzz^{-1}\iff f=g$[/tex]
e quindi [tex]a^{-1}(f)=zfz^{-1}[/tex]
ho modificato era -3 e non 3...
la tua dimostrazione considera f come una qualunque incognita... è quindi giusto non interessarsi se f sia iniettiva ecc ma considerare solo a?
la tua dimostrazione considera f come una qualunque incognita... è quindi giusto non interessarsi se f sia iniettiva ecc ma considerare solo a?
essi perchè $a$ è quello che di solito si dice "funzionale" cioè una funzione che agisce su un'altra funzione.
come hai scritto tu infatti lo spazio di partenza e di arrivo della funzione a è A che è lo spazio delle funzioni da Z in Z. Quindi l'ingettività va provata sull'argomento di $a$ e non sull argomento della funzione su cui agisce $a$, ovviamente se la funzione su cui agisce $a$ non fosse ingettiva ci potrebbero essere degli $x\in ZZ$ tali che a(f(x))=a(f(y)).
come hai scritto tu infatti lo spazio di partenza e di arrivo della funzione a è A che è lo spazio delle funzioni da Z in Z. Quindi l'ingettività va provata sull'argomento di $a$ e non sull argomento della funzione su cui agisce $a$, ovviamente se la funzione su cui agisce $a$ non fosse ingettiva ci potrebbero essere degli $x\in ZZ$ tali che a(f(x))=a(f(y)).
quindi per dimostrare la bigettività posso usare la tua dimostrazione per l'iniettività, inoltre a è chiaramente surgettiva in quanto in A ci sono tutte le funzioni da Z a Z comprese le inverse.
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