Esercizio su ideali massimali

[giaorl]

Ho problemi nel risolvere questo esercizio:
Sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario, [tex]M[/tex] un ideale massimale di [tex]A[/tex] tale che [tex]\forall x \in M:\ 1+x \in U(A)[/tex]. Provare che [tex]M[/tex] è l'unico ideale massimale di [tex]A[/tex].
In realtà prima di questo esercizio ce n'è uno più semplice (risolto). Non riesco a capire se sia possibile utilizzare il risultato dell'esercizio precedente. In ogni caso lo scrivo:
Sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario, [tex]I[/tex] un ideale diverso da [tex]A[/tex] tale che [tex]A - I \subset U(A)[/tex]. Provare che [tex]I[/tex] è l'unico ideale massimale di [tex]A[/tex].
Per l'esercizio che mi interessa ho provato per assurdo, con dimostrazione diretta, ma niente da fare...

[Studente Anonimo]

Un suggerimento: se L è un ideale massimale diverso da M allora [tex]M+L=A[/tex]. Quindi ogni elemento di A si scrive come [tex]m+l[/tex] con [tex]m \in M[/tex] e [tex]l \in L[/tex]...

[giaorl]

Grande. Risolto