Esercizio su ideali di un anello commutativo unitario

[lucia88]

Ciao a tutti,
devo dimostrare che:
Sia A anello commutativo unitario e J ideale di A:
1) Se J contiene elementi invertibili di A, allora J=A
2) Se A è corpo allora J=A o $J={0_A}$
3) Se A è commutativo e $a_1, ... ,a_n \in A $
allora $(a_1, ... , a_n)_A={a_1 b_1 + ... +a_n b_n | b_i \inA}=H$

con $(a_1, ... , a_n)_A$ il professore intende l'ideale di A generato dagli elementi $a_1, ... , a_n$
non ho neanche ben capito perchè l'ideale generato è uguale ad H che è una combinazione lineare
Praticamente so che :

(A,+, x) è un anello commutativo unitario quindi :
-(A,+) è un gruppo commutativo
-la moltiplicazione è associativa, commutativa e ha l'elemento neutro
-valgono le leggi distributive tra somma e prodotto

(A,+,x) è un corpo se, oltre ad essere un anello commutativo unitario, ammette l'elemento inverso di ogni elemento

Un ideale J di A è un sottoinsieme non vuoto t.c.:
-J è un sottogruppo additivo di A
-$AAa\inA,AAy\inJ$, $ay\inJ$ e $ya\inJ$

l'insieme degli invertibili di A è $U(A)={a\inA|aa'=1, EEa'\inA}$


QUINDI ho provato a a dimostrare così:

1)per dimostrare la tesi devo dimostrare che $J sube A$ e $A sube J$
per Hp J contiene elementi invertibili di A: prendo $x\in U(A) nn J$
siccome J è un ideale $AAa\inA,AAy\inJ$, $ay\inJ$ e $ya\inJ$:
in particolare $EEx^(-1)\inA$ tc $ x x^(-1)=1_A=x^(-1)x\inJ$
ma se $1_A\inJ $ allora J $AAainA$ per definizione di ideale $a1_A\inJ$ e $1_Aa\inJ$ e quindi J=A
E' corretto?


2)se A è un corpo, oltre alle prop di anello, so che ogni suo elemento ha inverso cioè $U(A)=A$
però non riesco a capire come impostare la dimostrazione...

[vict85]

L’uso delle formule dovrebbe essere il più completo possibile perché le formule possiedono un duplice scopo: il primo ovvio è di formattare le cose correttamente, il secondo, un po' meno ovvio, consiste nel permettere una rapida e precisa identificazione delle formule e quindi una loro più netta separazione dal testo.

Riguardo al tuo primo problema potevi anche evitare le righe introduttive e farle solo nella tua mente ma è corretto.

Riguardo al secondo devi usare il primo punto. Oltre al fatto che \(\displaystyle U(A) = A - \{0\} \).