Esercizio su ideali.
Buongiorno ho dei problemi a risolvere questo esercizio.
Sia $D$ un UFD e $K$ il suo campo delle frazioni.
Se $a in D$ allora $x^2 = a$ ha una radice in $K$ se e solo se ha una radice in $D$. Sia $p in D$ un elemento primo ed $A ={a/b in K | p non divide b}$.
1) Provare che $A$ è un dominio.
2) Se $J$ è un ideale di $A$, posto $I =D nn J$, provare che $J ={a/b in A | a in I}.
Per quanto riguarda il primo punto osservo che presi qualunque $x,x_1 in A$ $x*x_1 = 0$ se e solo se $x =0$ oppure $x_1 = 0$, infatti $A$ non ha divisori dello zero.
per il secondo invece osservo che $J sub A$ quindi $J = {a/b in A}$ ma non riesco a spiegare il fatto che $a in I$.
Del primo credo che sia corretto, del secondo punto non riesco a dimostrare perchè $a in I$.
Avete qualche suggerimento?
Grazie
Sia $D$ un UFD e $K$ il suo campo delle frazioni.
Se $a in D$ allora $x^2 = a$ ha una radice in $K$ se e solo se ha una radice in $D$. Sia $p in D$ un elemento primo ed $A ={a/b in K | p non divide b}$.
1) Provare che $A$ è un dominio.
2) Se $J$ è un ideale di $A$, posto $I =D nn J$, provare che $J ={a/b in A | a in I}.
Per quanto riguarda il primo punto osservo che presi qualunque $x,x_1 in A$ $x*x_1 = 0$ se e solo se $x =0$ oppure $x_1 = 0$, infatti $A$ non ha divisori dello zero.
per il secondo invece osservo che $J sub A$ quindi $J = {a/b in A}$ ma non riesco a spiegare il fatto che $a in I$.
Del primo credo che sia corretto, del secondo punto non riesco a dimostrare perchè $a in I$.
Avete qualche suggerimento?
Grazie
Risposte
U.F.D.=Dominio a Fattorizzazione Unica? 
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