Esercizio su gruppo ciclico

[bartel]

Sia G un gruppo ciclico generato da g e sia la cardinalità di G = n.
Dimostrare che g^m genera G se e solo se mcd (m,n) = 1
Dimostrare che ogni automorfismo di G manda g in un generatore di G

Grazie x l'aiuto ragazzi non so proprio da dove partire...

[mistake89]

Io farei così.
In generale vale questa relazione $o(g^k)=(n)/(MCD(k,n))$ e questo ti risolve tutti i problemi, infatti se $g^m$ genera il tuo gruppo allora ha ordine $n$ da cui necessariamente $(n,m)=1$. D'altra parte se $(n,m)=1$ allora $o(g^m)=n$ ossia è un generatore di $G$.

Per provare questa formula basta osservare che $(g^k)^(n/((k,n))) =g^(m.c.m(k,n))=1$.
Proviamo che è il più piccolo intero. Sia allora $h in NN$ tale che $(g^k)^h=1$ allora $n|kh$. Detto $d=(n,k)$ si ha che $n/d|k/d h$ da cui segue che $n/d |h$

[bartel]

Ok grazie mille sei stato chiarissimo
Per quanto riguarda il secondo punto invece : ''Dimostrare che ogni Automorfismo manda un generatore di G in un generatore di G '' ho pensato questo :
Definisco l'automorfismo $ Grarr G $ tale che $ grarr f(g) $ , e f(g) = g^m , f(g^2) = g^2m e cosi via.
g^m = f(g) genera l'immagine dell'isomorfismo che è proprio G essendo un automorfismo.

Può bastare come dimostrazione ?? o va dimostrato in tutt'altro modo ??