Esercizio su gruppi semplici e azioni di gruppi

[ludovica.sarandrea]

Salve, ho il seguente esercizio:
'Sia G un gruppo semplice che ammette un sottogruppo tale che $[G]=n$, dimostrare che allora $|G| Io ho ragionato in questo modo:
Considero l'insieme X={insieme delle classi laterali} e prendo l'azione
$G x X-> X$ che corrisponde a dare un omomorfismo $G->S_n$
Ora prendo un sottogruppo normale di G, che, essendo semplice sara' o il banale o tutto.
Prendo $N={e}$ ed avro' quindi $G/{e}->K$ isomorfismo (con K sottogruppo di $S_N$)
Per il teorema di Lagrange, la cardinalita' del sottogruppo divide la cardinalita' del gruppo quindi $|K|=|G|$ che divide $n!$
Prendo ora il caso in cui $N=G$ ed avro' $G/G->K$ isomorfismo (con K sottogruppo di $S_N$)
Analogamente a prima $|K|=|G/G|$ che divide $n!$ ma ora come concludo che $|G|$ divide $n!$? e soprattutto il resto dell'esercizio e' corretto??

[Stickelberger]

$N$ e' il nucleo di $G\rightarrow S_n$ suppongo?

Non e' possibile che $K=\{1\}$.
Perche' significherebbe che l'azione di $G$ e' banale,
nel senso che $G$ fissa ogni classe laterale.

[killing_buddha]

Se l'omomorfismo che ti risulta dall'azione ha per dominio un semplice, allora non appena è non banale deve essere iniettivo; a questo punto il primo teorema di isomorfismo ti dice che $G$ è isomorfo a un sottogruppo di $Sym(n)$.