Esercizio su gruppi e sottogruppi
Ciao a tutti! Sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Si consideri l'operazione definita da $ x** y=x+y+3 $ . Dimostrare che $ (Z,**) $ è un gruppo, esibire l'elemento neutro e l'elemnto inverso. Dare almeno un esempio di sottogruppo di $ (Z,**) $. Si tratta di un sottogruppo normale? Si tratta di un sottogruppo ciclico? Giustificare le risposte.
Allora se non sbaglio l'elemento neutro è -3. Infatti $ -3**y=-3+y+3=y $ . L'elemento inverso è -6-y, infatti $ (-6-y)**y=-6-y+y+3=-3 $ .
Prer quanto riguarda un sottogruppo, va bene prendere $ (Z,+) $ ? Perchè rispetta la chiusura: $ a+bin (Z,+), AA a,bin (Z,+) $ ; identità: $ 1Gin(Z,+) $ ; inverso: $ a^(-1)in(Z,+),AAain(Z,+) $ .
Poi, per il criterio di normalità si ha che (Z,+) è normale se e solo se $ ghg^(-1)in(Z,+),AAgin(Z,**),AAhin(Z,+) $ . Quindi in questo caso il sottogruppo è normale.
Fin qui è giusto? Dopodichè come faccio a dire se si tratta di un sottogruppo ciclico?
Si consideri l'operazione definita da $ x** y=x+y+3 $ . Dimostrare che $ (Z,**) $ è un gruppo, esibire l'elemento neutro e l'elemnto inverso. Dare almeno un esempio di sottogruppo di $ (Z,**) $. Si tratta di un sottogruppo normale? Si tratta di un sottogruppo ciclico? Giustificare le risposte.
Allora se non sbaglio l'elemento neutro è -3. Infatti $ -3**y=-3+y+3=y $ . L'elemento inverso è -6-y, infatti $ (-6-y)**y=-6-y+y+3=-3 $ .
Prer quanto riguarda un sottogruppo, va bene prendere $ (Z,+) $ ? Perchè rispetta la chiusura: $ a+bin (Z,+), AA a,bin (Z,+) $ ; identità: $ 1Gin(Z,+) $ ; inverso: $ a^(-1)in(Z,+),AAain(Z,+) $ .
Poi, per il criterio di normalità si ha che (Z,+) è normale se e solo se $ ghg^(-1)in(Z,+),AAgin(Z,**),AAhin(Z,+) $ . Quindi in questo caso il sottogruppo è normale.
Fin qui è giusto? Dopodichè come faccio a dire se si tratta di un sottogruppo ciclico?
Risposte
Non ho capito che cosa hai fatto con \( \mathbb Z \). Un sottogruppo \( H \) di un gruppo \( G \) è chiuso per l'operazione di \( G \), non per un'altra operazione a caso.
Comunque, io a naso proverei con \( \mathbb Z 3 = \{k3:k\in\mathbb Z\}\). E nota che ogni sottogruppo che ti verrà in mente sarà normale in \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \), perché questo è un gruppo abeliano (dimostra che se \( H\leq G \) è sottogruppo di \( G \) abeliano, allora \( H\trianglelefteq G \) - ammesso che ciò ti sia nuovo).
Per il ciclico: \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \) è ciclico? Perché, se lo fosse, potresti rispondere tanto elegantemente quanto fatto qui su riguardo alla normalità.
Comunque, io a naso proverei con \( \mathbb Z 3 = \{k3:k\in\mathbb Z\}\). E nota che ogni sottogruppo che ti verrà in mente sarà normale in \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \), perché questo è un gruppo abeliano (dimostra che se \( H\leq G \) è sottogruppo di \( G \) abeliano, allora \( H\trianglelefteq G \) - ammesso che ciò ti sia nuovo).
Per il ciclico: \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \) è ciclico? Perché, se lo fosse, potresti rispondere tanto elegantemente quanto fatto qui su riguardo alla normalità.
Grazie mille per i chiarimenti e per l'aiuto 
Scusate se mi intrometto nella discussione!
Avete detto giustamente che $(Z, ∗)$ con l'operazione $x∗y=x+y+3$ è un gruppo e questo é stato dimostrato.
Ma ho un dubbio:
se l'elemento neutro di questo gruppo é $-3$ e il suo elemento inverso é $-6 -y$
come sottogruppi oltre a $Z3={k3:k∈Z}$ quali potrebbero essere gli altri?
Grazie
Avete detto giustamente che $(Z, ∗)$ con l'operazione $x∗y=x+y+3$ è un gruppo e questo é stato dimostrato.
Ma ho un dubbio:
se l'elemento neutro di questo gruppo é $-3$ e il suo elemento inverso é $-6 -y$
come sottogruppi oltre a $Z3={k3:k∈Z}$ quali potrebbero essere gli altri?
Grazie
Ho visto il tuo reply tipo ieri, sorry 
Nota che, \( \left(\mathbb Z, {*}\right) \) è ciclico e infinito, e quindi è isomorfo al gruppo additivo \( \mathbb Z \) degli interi. Due gruppi isomorfi hanno gli stessi sottogruppi.
Più esplicitamente, è \( \mathbb Z\cong\left(\mathbb Z, {*}\right) \) in un unico modo, e cioè per \( \phi\colon x\mapsto x - 3 \). Nota che [strike]dato un sottogruppo \( H\leqq\left(\mathbb Z, {*}\right) \) è \( H = \langle a\rangle = \mathbb Z\phi^{-1}(a) \) e puoi fare l'inverso: dato \( \mathbb Zn\leqq\mathbb Z \), sarà \( \mathbb Zn = \langle\phi(n)\rangle \).[/strike]
edit. Ho barrato una cosa sbagliata.
Nota che, \( \left(\mathbb Z, {*}\right) \) è ciclico e infinito, e quindi è isomorfo al gruppo additivo \( \mathbb Z \) degli interi. Due gruppi isomorfi hanno gli stessi sottogruppi.
Più esplicitamente, è \( \mathbb Z\cong\left(\mathbb Z, {*}\right) \) in un unico modo, e cioè per \( \phi\colon x\mapsto x - 3 \). Nota che [strike]dato un sottogruppo \( H\leqq\left(\mathbb Z, {*}\right) \) è \( H = \langle a\rangle = \mathbb Z\phi^{-1}(a) \) e puoi fare l'inverso: dato \( \mathbb Zn\leqq\mathbb Z \), sarà \( \mathbb Zn = \langle\phi(n)\rangle \).[/strike]
edit. Ho barrato una cosa sbagliata.
Grazie mille per l'ottima spiegazione. Sto riflettendo un pó per riuscire a seguirti.
Comunque dato che nel gruppo $(Z,+)$ i suoi sottogruppi sono tutti quelli della forma $Zn$ che io sono abituato a vedere
come $(nZ)$
se in $(Z,+)$ considero, per esempio, il sottogruppo $7Z= Z7={k7:k∈Z} $ allora il sottogruppo
corrispondente in $(Z,∗)$ con l'operazione definita da $x∗y=x+y+3 $ sará dato da $ϕ:x↦x−3$ e cioé
$7Z=4Z$ perché $⟨ϕ(7)⟩ =⟨4⟩$
Dico bene?
Comunque dato che nel gruppo $(Z,+)$ i suoi sottogruppi sono tutti quelli della forma $Zn$ che io sono abituato a vedere
come $(nZ)$
se in $(Z,+)$ considero, per esempio, il sottogruppo $7Z= Z7={k7:k∈Z} $ allora il sottogruppo
corrispondente in $(Z,∗)$ con l'operazione definita da $x∗y=x+y+3 $ sará dato da $ϕ:x↦x−3$ e cioé
$7Z=4Z$ perché $⟨ϕ(7)⟩ =⟨4⟩$
Dico bene?
Assolutamente no! Ma ho cappellato io: non è vero che
I sottogruppi di questo gruppo son sì "gli stessi" di quelli di \( \mathbb Z \) (un qualsiasi sottogruppo di \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \) ha esattamente la stessa tabella di moltiplicazione di un (ogni) sottogruppo (non banale) di \( \mathbb Z \)), ma la caratterizzazione che ho dato io è strafalsa. Quello che intendevo, di fatto, è che i sottogruppi \( \langle a\rangle \) di \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \) sono delle classi laterali degli \( \mathbb Z\phi^{-1}(a) \); e viceversa, che i sottogruppi \( \mathbb Z n\) di \( \mathbb Z \) hanno forma \( 0 * \langle\phi(n)\rangle \), rispetto alle operazioni di \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \)
"marco2132k":Considera ad esempio \( \langle 4\rangle = \left\{\pm 7n - 3:n\in\mathbb N\right\} \) (il gruppo \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \) è ciclico \( =\langle -2\rangle \)): se fosse vero che \( \langle 4\rangle \) fosse un qualche \( \mathbb Z m \), per qualsiasi \( m \), conterrebbe il neutro di \( \mathbb Z \)!
dato un sottogruppo \( H\leqq\left(\mathbb Z, {*}\right) \) è \( H = \langle a\rangle = \mathbb Z\phi^{-1}(a) \)
I sottogruppi di questo gruppo son sì "gli stessi" di quelli di \( \mathbb Z \) (un qualsiasi sottogruppo di \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \) ha esattamente la stessa tabella di moltiplicazione di un (ogni) sottogruppo (non banale) di \( \mathbb Z \)), ma la caratterizzazione che ho dato io è strafalsa. Quello che intendevo, di fatto, è che i sottogruppi \( \langle a\rangle \) di \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \) sono delle classi laterali degli \( \mathbb Z\phi^{-1}(a) \); e viceversa, che i sottogruppi \( \mathbb Z n\) di \( \mathbb Z \) hanno forma \( 0 * \langle\phi(n)\rangle \), rispetto alle operazioni di \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \)
Scusa marco2132k, cerco di capire a piccoli passi:
Dici che $⟨4⟩={±7n−3:n∈N}$, ma gli elementi non sono diversi?
Ma se l'elemento neutro é $-3$, come lo ricavo dal gruppo $(Z,∗) ciclico =⟨−2⟩$
Io penso il gruppo generato da $⟨−2⟩ $ come il gruppo ${....-4,-2,0,2,4,6...}$
Dici che $⟨4⟩={±7n−3:n∈N}$, ma gli elementi non sono diversi?
Ma se l'elemento neutro é $-3$, come lo ricavo dal gruppo $(Z,∗) ciclico =⟨−2⟩$
Io penso il gruppo generato da $⟨−2⟩ $ come il gruppo ${....-4,-2,0,2,4,6...}$
Con \( \langle a\rangle \) indico il sottogruppo di \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \) generato da \( a\in\mathbb Z \). Dico che è \( \left(\mathbb Z,{*}\right) = \langle -2\rangle \) perché, come ho scritto su, dato \( k\in\mathbb Z \) è
\[
\begin{aligned}
k * k &= k + k + 3\\
k * k * k &= (2k + 3) * k = 3k + 2\cdot 3\\
\dots\\
\underbrace{k*\dots*k}_{\text{$ n $ volte}} &= *_{i = 1}^n\, k = nk + (n - 1)3
\end{aligned}
\] per ogni \( n\in\mathbb N \). Vatti allora a vedere come è definito il sottogruppo generato da un elemento qualsiasi di un gruppo e nota che, per \( k\in\mathbb Z \), se 1) \( k = -3 \), allora \( k \) è il prodotto nullo di \( -2 \); 2) \( k>-3 \), è \( k = n - 3 \) per qualche \( n\in\mathbb N \), i.e., per \( n = k + 3 \); 3) \( k<-3 \), è... fallo tu.
Quindi il Nostro è ciclico; chi sarà dunque il sottogruppo generato da un suo \( a \)? Avremo
\[
\langle a\rangle = \Biggl\{\underbrace{\pm 1 a*\dots*\pm 1 a}_{\text{$ n $ volte}}:n\in\mathbb N\Biggr\}
\] dove per \( \pm 1 a \) intendo che devi prendere o \( a \) o il suo inverso (in \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \)!). Chi è dunque questo ragazzo?
C'è un altro modo di procedere? boh.
\[
\begin{aligned}
k * k &= k + k + 3\\
k * k * k &= (2k + 3) * k = 3k + 2\cdot 3\\
\dots\\
\underbrace{k*\dots*k}_{\text{$ n $ volte}} &= *_{i = 1}^n\, k = nk + (n - 1)3
\end{aligned}
\] per ogni \( n\in\mathbb N \). Vatti allora a vedere come è definito il sottogruppo generato da un elemento qualsiasi di un gruppo e nota che, per \( k\in\mathbb Z \), se 1) \( k = -3 \), allora \( k \) è il prodotto nullo di \( -2 \); 2) \( k>-3 \), è \( k = n - 3 \) per qualche \( n\in\mathbb N \), i.e., per \( n = k + 3 \); 3) \( k<-3 \), è... fallo tu.
Quindi il Nostro è ciclico; chi sarà dunque il sottogruppo generato da un suo \( a \)? Avremo
\[
\langle a\rangle = \Biggl\{\underbrace{\pm 1 a*\dots*\pm 1 a}_{\text{$ n $ volte}}:n\in\mathbb N\Biggr\}
\] dove per \( \pm 1 a \) intendo che devi prendere o \( a \) o il suo inverso (in \( \left(\mathbb Z,{*}\right) \)!). Chi è dunque questo ragazzo?
C'è un altro modo di procedere? boh.
Sulla base delle tue info cerco di concretizzare:
$(Z,∗)=⟨−2⟩ $ , infatti se $k∈Z $ si puó facilmente verificare che se
$k =-3 vv k > -3$ allora $k= n-3$
Per esempio
$k=-3 = 0*(-2)+(0-1)*3$
$k=-2=1*(-2)+(1-1)*3$
$k=-1=2*(-2)+(2-1)*3$
$k=0=3*(-2)+(3-1)*3$
$k=1=4*(-2)+(4-1)*3$
................................
.................................
infatti
$0-3=-3$
$1-3=-2$
$2-3=-1$
$3-3=0$
$4-3=1$
...............
Invece nei casi dove $k < -3$ allora $k = - n - k$
Per esempio
$k=-4 = -1*(-2)+(-1-1)*3$
$k=-5 = -2*(-2)+(-2-1)*3$
.........................................
..........................................
Pertanto $(Z,∗)=⟨−2⟩ $ e i suoi elementi sono i numeri interi.
Se con $ ⟨a⟩$ indico il sottogruppo di $(Z,∗)$ generato da $ a∈Z$ io penso che per
trovare questo sottogruppo ciclico si puó procedere allo stesso modo:
partendo dalla definizione dell'operazione $nk + (n-1)*3$ se
$a=4 $, per esempio, si puó facilmente verificare che
$k=-3 = 0*(4)+(0-1)*3$ (trovo l'elemento neutro)
$1*(4)+(1-1)*3= 4$
$2*(4)+(2-1)*3=11$
$3*(4)+(3-1)*3=18$
........................
...............................
$-1*(4)+(-1-1)*3= -10$
$-2*(4)+(-2-1)*3= -17$
$-3*(4)+(-3-1)*3= -24$
Cosa ne pensi marco2132k.
Grazie
$(Z,∗)=⟨−2⟩ $ , infatti se $k∈Z $ si puó facilmente verificare che se
$k =-3 vv k > -3$ allora $k= n-3$
Per esempio
$k=-3 = 0*(-2)+(0-1)*3$
$k=-2=1*(-2)+(1-1)*3$
$k=-1=2*(-2)+(2-1)*3$
$k=0=3*(-2)+(3-1)*3$
$k=1=4*(-2)+(4-1)*3$
................................
.................................
infatti
$0-3=-3$
$1-3=-2$
$2-3=-1$
$3-3=0$
$4-3=1$
...............
Invece nei casi dove $k < -3$ allora $k = - n - k$
Per esempio
$k=-4 = -1*(-2)+(-1-1)*3$
$k=-5 = -2*(-2)+(-2-1)*3$
.........................................
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Pertanto $(Z,∗)=⟨−2⟩ $ e i suoi elementi sono i numeri interi.
Se con $ ⟨a⟩$ indico il sottogruppo di $(Z,∗)$ generato da $ a∈Z$ io penso che per
trovare questo sottogruppo ciclico si puó procedere allo stesso modo:
partendo dalla definizione dell'operazione $nk + (n-1)*3$ se
$a=4 $, per esempio, si puó facilmente verificare che
$k=-3 = 0*(4)+(0-1)*3$ (trovo l'elemento neutro)
$1*(4)+(1-1)*3= 4$
$2*(4)+(2-1)*3=11$
$3*(4)+(3-1)*3=18$
........................
...............................
$-1*(4)+(-1-1)*3= -10$
$-2*(4)+(-2-1)*3= -17$
$-3*(4)+(-3-1)*3= -24$
Cosa ne pensi marco2132k.
Grazie
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