Esercizio su gruppi e isomorfismi, chi mi da una mano??
Salve vi propongo questo esercizio di un compito di Agebra del 2010:
Sia $(G,*)$ un gruppo dove è definita una $f$ endomorfismo di $G$ e $g:G->G$ una biezione
si definisce $(a**b)$=$g^(-1)[ g(a)*g(b)]$ dove $ AA a,b in G $ si ha che $G**=(G,**)$ è un gruppo il cui elemento neutro è $g(1)$.
ora ci sono diversi punti da dimostrare:
il primo è dimostrare che $g:G**->G$ è un ISOMORFISMO tra gruppi
Come posso ragionare in questo caso?
devo dimostrare che c'è un omomorfismo fra i gruppi con il teorema e poi dimostrare che $g$ è iniettiva e suriettiva o posso anche ragionare sull'inversa per semplificarmi le cose?? mi aiutate a risolverlo?
grazie Riccardo
Sia $(G,*)$ un gruppo dove è definita una $f$ endomorfismo di $G$ e $g:G->G$ una biezione
si definisce $(a**b)$=$g^(-1)[ g(a)*g(b)]$ dove $ AA a,b in G $ si ha che $G**=(G,**)$ è un gruppo il cui elemento neutro è $g(1)$.
ora ci sono diversi punti da dimostrare:
il primo è dimostrare che $g:G**->G$ è un ISOMORFISMO tra gruppi
Come posso ragionare in questo caso?
devo dimostrare che c'è un omomorfismo fra i gruppi con il teorema e poi dimostrare che $g$ è iniettiva e suriettiva o posso anche ragionare sull'inversa per semplificarmi le cose?? mi aiutate a risolverlo?
grazie Riccardo
Risposte
La prima cosa consiste nel dimostrare che è effettivamente un gruppo. Dimostra l'associatività e trova inversi ed elementi neutri. Dopo di che dimostra che $g$ è un omomorfismi tra i due gruppi.
Secondo me è il metodo più comodo. Anche se ci vuole un po' di attenzione sulle operazioni.
Secondo me è il metodo più comodo. Anche se ci vuole un po' di attenzione sulle operazioni.
Il testo dell'esercizio mi dice già che $G$ e $G**$ sono dei gruppi, è inutile dimostarlo.
Io volevo capire se era possibile sfruttare la proprietà dell'inversa per riuscire a dimostrare che $g:G->G**$ è un isomorfismo
Io volevo capire se era possibile sfruttare la proprietà dell'inversa per riuscire a dimostrare che $g:G->G**$ è un isomorfismo
Beh.... l'inversa è unica siccome $g$ è una biezione quindi direi di si. Comunque più che altro devi dimostrare che è un omomorfismo. Il resto viene da se.
avevo messo degli errori sul testo, ora ho corretto: veniamo a noi
intanto si dimostra che $g$ è un omomorfismo
quindi $g(a**b) = g(a)*g(b)$ ?
$g[g^-1(g(a)*g(b)] = g(a)*g(b)$
quindi avremo $g(a)*g(b) = g(a)*g(b)$ va bene?
quindi $g$ è un omomorfismo, posso già dire che è isomorfismo o devo per forza vedere che $g$ sia iniettiva e suriettiva?
intanto si dimostra che $g$ è un omomorfismo
quindi $g(a**b) = g(a)*g(b)$ ?
$g[g^-1(g(a)*g(b)] = g(a)*g(b)$
quindi avremo $g(a)*g(b) = g(a)*g(b)$ va bene?
quindi $g$ è un omomorfismo, posso già dire che è isomorfismo o devo per forza vedere che $g$ sia iniettiva e suriettiva?
"michealorion":
avevo messo degli errori sul testo, ora ho corretto: veniamo a noi
intanto si dimostra che $g$ è un omomorfismo
quindi $g(a**b) = g(a)*g(b)$ ?
$g[g^-1(g(a)*g(b)] = g(a)*g(b)$
quindi avremo $g(a)*g(b) = g(a)*g(b)$ va bene?
quindi $g$ è un omomorfismo, posso già dire che è isomorfismo o devo per forza vedere che $g$ sia iniettiva e suriettiva?
Per quanto riguarda la prima parte è meglio scrivere [tex]g(a*b) = g\left[g^{-1}(g(a)\cdot g(b))\right] = g(a)\cdot g(b)[/tex] cioé partire da una delle due e attraverso una catena di uguaglianze arrivare all'altra. Ma anche come hai fatto tu va bene.
Beh, è una biezione e quindi è iniettiva e suriettiva per definizione.
ok perfetto...quindi avevo fatto bene.
il secondo punto dice di dimostrare che:
$y = g @ f @ g : G**->G**$ è un Endomorfismo di Gruppi
io ho pensato che devo far vedere che $g @ f @ g : G**->G**$
ora noi sappiamo che $f$ è un endomorfismo per definizione e che $g$ è un isomorfismo l'abbiamo calcolato prima.
non vorrei dire una castroneria ma se $g$ è un isomorfismo $G**->G$ allora c'è anche un altro isomorfismo $h:G->G**$
posso considerare $h$ per vedere se la composizione è un endomorfismo?
$(h @ f ) @ g$ avrei $G**->G**$
se ho detto delle cavolate vi prego di scusarmi
il secondo punto dice di dimostrare che:
$y = g @ f @ g : G**->G**$ è un Endomorfismo di Gruppi
io ho pensato che devo far vedere che $g @ f @ g : G**->G**$
ora noi sappiamo che $f$ è un endomorfismo per definizione e che $g$ è un isomorfismo l'abbiamo calcolato prima.
non vorrei dire una castroneria ma se $g$ è un isomorfismo $G**->G$ allora c'è anche un altro isomorfismo $h:G->G**$
posso considerare $h$ per vedere se la composizione è un endomorfismo?
$(h @ f ) @ g$ avrei $G**->G**$
se ho detto delle cavolate vi prego di scusarmi
"michealorion":
ok perfetto...quindi avevo fatto bene.
il secondo punto dice di dimostrare che:
$y = g @ f @ g : G**->G**$ è un Endomorfismo di Gruppi
io ho pensato che devo far vedere che $g @ f @ g : G**->G**$
ora noi sappiamo che $f$ è un endomorfismo per definizione e che $g$ è un isomorfismo l'abbiamo calcolato prima.
non vorrei dire una castroneria ma se $g$ è un isomorfismo $G**->G$ allora c'è anche un altro isomorfismo $h:G->G**$
posso considerare $h$ per vedere se la composizione è un endomorfismo?
$(h @ f ) @ g$ avrei $G**->G**$
se ho detto delle cavolate vi prego di scusarmi
Il problema qui è che le funzioni hanno i domini sbagliati. In altre parole è sbagliato il testo dell'esercizio. Dovrebbe essere giusto se metti $g^{-1}@f@g$ (come hai scritto alla fine).
È vero siccome la composizione di omomorfismi è un omomorfismo e il dominio e il codominio della funzione sono lo stesso.
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