Esercizio su grado di estensione di un campo

[tuorlina1]

Si consideri E un campo di spezzamento per f in F[x], f di grado n. Si dimostri che [E] | n! .

Intuitivamente capisco il perche', ma non riesco a formalizzare la risposta!!

Allora, sappiamo che sicuramente [E] $<=$ n! :
infatti, se chiamiamo $F_1$ = F($a_1$) , $F_2$ = $F_1$($a_2$) ... ecc, con $a_i$ radici di f su E, allora [E] e' il prodotto dei [ $F_i$ : $F_(i-1)$ ]
con i che va da 1 a n.

Ora come devo procedere? Ho provato a dividere cosi' : n! = q([E]) + r con q intero e 0 $<=$ r < [E], ma non riesco a dimostrare che r deve essere 0...

Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto!

[maurer]

Se i campi sono in caratteristica 0, la teoria di Galois permette di concludere in un battibaleno. Infatti il gruppo di Galois [tex]G[/tex] agisce sulle radici come permutazioni; siccome le radici sono n, allora il gruppo di Galois è isomorfo al sottogruppo di [tex]S_n[/tex] che ha appunto [tex]n![/tex] elementi, da cui [tex][E] = |G| \mid n![/tex].

In un caso più generale, bisogna lavorare a mano. Pensato a procedere per induzione sul grado?