Esercizio su funzione tra sistema completo di rappresentanti e quoziente

[pamperzo]

Mi piacerebbe discutere con qualcuno su come rendere rigorosa la richiesta del seguente

Esercizio:
Sia Sun insieme completo di rappresentanti delle classi d’equivalenza di una relazione d’equivalenza R. Dimostrare che π|S:S→A/R,s→ e una biiezione (con π|S proiezione canonica ristretta ad S)

Le cose che so dalla teoria sono che: $[a]:={b|bRa}$ poi A/R=${[a]|a in A}$

Quello che non riesco a rendere bene è l'insieme completo di rappresentati, ossia l'insieme che contiene un rappresentante per ogni classe, ove S è sottoinsieme di A.
L'idea è che $S:={b_i in A| b_i¬Rb_j <=> i!=j \and b_iRb_j <=> i=j}$ (°°)

Devo mostrare la suriettività ed iniettivita.

Per l'iniettività potrei dire che per ogni x1 e x2 in S $[x_1]=[x_2] <=> x_1Rx_2$ ma questo per quanto in (°°) vorrebbe dire che $ x_1Rx_2 <=> x_1=x_2$

Per la suriettività per ogni b esiste a t.c f(b)=a e specializzandolo al nostro caso:
per come è definita $pi:a in A ->[a] in A/R$ so che per ogni $[a]$ esiste $a$ t.c $pi(a)=[a]$ proprio per come è definita, quindi varrà anche per la restrizione

Ora l'idea è un po' questa, ma non so come aggiustare le cose
Grazie al volenteroso aiutante!
Buona serata.

[megas_archon]

Beh, un insieme trasversale di rappresentanti per una relazione di equivalenza R è definito in maniera tale che quel che devi dimostrare sia vero; nello specifico, \(S\) è un trasversale per R relazione su X se per ogni \([a] \in X/R\), \(S\cap [a]\) contiene un unico elemento. Questo definisce univocamente, ancorché implicitamente, una biiezione \(S\to X/R\).

[pamperzo]

Sì, infatti l'idea è quella. Però devo dimostrarlo con l'insiemistica delle definizioni. Cioè ovviamente è come dici, ma dovrei appunto dimostrarlo e non vederlo solo intuitivamente, no?

Grazie per il tuo aiuto

[megas_archon]

Non c'è niente di intuitivo in quel che ho detto. Esiste una funzione \(S \to X/R\), definita mandando un elemento di S nella sua classe di equivalenza; questa funzione è biiettiva per come è definito il suo dominio.