Esercizio su funzione iniettiva

[python1134]

Salve ragazzi, sto provando a risolvere un esercizio semplice ma non capisco alcune cose.La traccia è:

Sia X un insieme non vuoto. Trovare una funzione iniettiva da X nell'insieme delle parti di X.

Ora io ho provato a risolverlo considerando un insieme con due elementi scelti da me,"a" e "b", e considerando
l'insieme delle parti, ma non riesco ad andare avanti. Grazie in anticipo

[G.D.5]

Per risolvere l'esercizio non devi però limitarti ad un insieme con \( 2 \) elementi: devi trovare una funzione iniettiva per un insieme in generale. Tuttavia usare un insieme con appena \( 2 \) elementi può essere una buona base di partenza: scrivi per esteso l'insieme delle parti di \( X = \{ a,b \} \), quindi scrivi le assegnazioni per \( a \) e \( b \) in modo che la funzione sia iniettiva. Provando e riprovando ti renderai conto che puoi realizzare più assegnazioni che rendano la funzione iniettiva. Ad un certo punto dovresti notare un'assegnazione per così dire spontanea con la quale poter risolvere in generale l'esercizio. Sia chiaro che questa assegnazione spontanea non è ovviamente l'unica che risolve l'esercizio in generale.

[anto_zoolander]

Per darti un'idea, la funzione
$f:X->P(X)$ che associa $forallx inX(x|->{x})$
Potrebbe fare al tuo caso.
In poche parole associa ad un elemento dell'insieme il singleton dell'insieme delle sue parti che lo contiene.

[python1134]

"G.D.":Per risolvere l'esercizio non devi però limitarti ad un insieme con \( 2 \) elementi: devi trovare una funzione iniettiva per un insieme in generale. Tuttavia usare un insieme con appena \( 2 \) elementi può essere una buona base di partenza: scrivi per esteso l'insieme delle parti di \( X = \{ a,b \} \)

Si,questo lo avevo capito,cioè considerare un insieme di due elementi era solo un esempio.Avevo anche già scritto per esteso l'insieme delle parti come tu dici, ma non riesco a capire il ragionamento succesivo,scusami

[python1134]

"anto_zoolander":Per darti un'idea, la funzione
$f:X->P(X)$ che associa $forallx inX(x|->{x})$
Potrebbe fare al tuo caso.
In poche parole associa ad un elemento dell'insieme il singleton dell'insieme delle sue parti che lo contiene.

Senza però considerare l'insieme vuoto e l'insieme X stesso,giusto?

[anto_zoolander]

Che intendi?
Ovviamente $X$ deve essere non vuoto, ma per come è definita la funzione $X,emptyset$ non appartengono all'immagine

[garnak.olegovitc1]

"anto_zoolander":
Ovviamente $X$ deve essere non vuoto...

perché mai?

[anto_zoolander]

@garnak

Molte fonti danno per definizione che dominio e codominio debbano essere non vuoti, però devo ammettere che in effetti ci stavo pensando un po' su
Se $X=emptyset$ si ha che $P(emptyset)={emptyset}$
Il problema è che se effettivamente $X$ sia vuoto, qualunque elemento scelga, esso non apparterrà a $X$

Magari ci penso un altro poco.

[garnak.olegovitc1]

[ot]molte fonti fanno tutto un po troppo, per i miei gusti, trivial[nota]parola tedesca, sarebbe naive in inglese[/nota][/ot]

@python34,
rilanciamo un po il topic.. dimostra che non esiste alcuna suriettiva (e poi pensa se esiste o meno una qualche bigezione)...

[anto_zoolander]

@Garnak

se $X$ e finito, $Card(X)=n=>Card(X)=2^n$
Dunque se per assurdo esistesse, ogni elemento di $P(X)$ dovrebbe essere immagine di almeno un elemento di $X$ ora prendendo $Im(X)={AsubseteqX:A=f(x), x inX}$ ma $Card(Im(X))=n(neCard(P(X))$ che è un assurdo e dunque non esiste