Esercizio su estensioni di campi e teoria di Galois
Ciao a tutti,
avrei bisogno di un aiuto per un esercizio di teoria dei campi.
Devo dimostrare che il polinomio $P(x) = x^5-x+1 \in \mathbb{Q}[x]$ è irriducibile.
Quindi, detta $\alpha \in \mathbb{C}$ una radice di $P(x)$ dire se $\mathbb{Q}(\alpha)$ è estensione di Galois di $\mathbb{Q}$.
Ho trovato che si tratta di un caso particolare di polinomio di Artin-Schreier.
Quindi posso trattarlo su $\mathbb{F}_5$, trovare che è irriducibile e che le altre sue radici sono del tipo $\alpha+1, \alpha+2, \alpha+3, \alpha+4$, perciò $\mathbb{F}_5[\alpha]$ è estensione di Galois su $\mathbb{F}_5$.
Io però devo vedere se $\mathbb{Q}(\alpha)$ è estensione di Galois su $\mathbb{Q}$.
Qualche suggerimento?
Grazie
avrei bisogno di un aiuto per un esercizio di teoria dei campi.
Devo dimostrare che il polinomio $P(x) = x^5-x+1 \in \mathbb{Q}[x]$ è irriducibile.
Quindi, detta $\alpha \in \mathbb{C}$ una radice di $P(x)$ dire se $\mathbb{Q}(\alpha)$ è estensione di Galois di $\mathbb{Q}$.
Ho trovato che si tratta di un caso particolare di polinomio di Artin-Schreier.
Quindi posso trattarlo su $\mathbb{F}_5$, trovare che è irriducibile e che le altre sue radici sono del tipo $\alpha+1, \alpha+2, \alpha+3, \alpha+4$, perciò $\mathbb{F}_5[\alpha]$ è estensione di Galois su $\mathbb{F}_5$.
Io però devo vedere se $\mathbb{Q}(\alpha)$ è estensione di Galois su $\mathbb{Q}$.
Qualche suggerimento?
Grazie
Risposte
E' un po' che non vedo queste cose, quindi prendi tutto con le pinze.
Ad ogni modo, mi sembra che l'idea per l'irriducibilità sia corretta ma devi giustificarla un po' meglio, perché non ci capisce come vuoi usare \( \mathbb F_5 \). Direi che l'irriducibilità su $QQ[x]$ è equivalente all'irriducibilità su $ZZ[x]$ - il polinomio è primitivo; per provare quest'ultima, ti basta trovare un primo $p$ t.c. il polinomio sia irrudicibile in \( \mathbb F_p \) (e nel tuo caso $p=5$ probabilmente va bene, ce la fai a mano anche senza Artin-Schreier, secondo me).
Per quanto riguarda l'estensione $QQ(alpha)$ ci devo pensare (l'estensione è sicuramente separabile perché siamo in caratteristica zero, basterebbe vedere se è normale, no?).
Ad ogni modo, mi sembra che l'idea per l'irriducibilità sia corretta ma devi giustificarla un po' meglio, perché non ci capisce come vuoi usare \( \mathbb F_5 \). Direi che l'irriducibilità su $QQ[x]$ è equivalente all'irriducibilità su $ZZ[x]$ - il polinomio è primitivo; per provare quest'ultima, ti basta trovare un primo $p$ t.c. il polinomio sia irrudicibile in \( \mathbb F_p \) (e nel tuo caso $p=5$ probabilmente va bene, ce la fai a mano anche senza Artin-Schreier, secondo me).
Per quanto riguarda l'estensione $QQ(alpha)$ ci devo pensare (l'estensione è sicuramente separabile perché siamo in caratteristica zero, basterebbe vedere se è normale, no?).
Colpa mia che non ho giustificato i passaggi per l'irriducibilità, comunque dato che il polinomio è primitivo ho proprio ragionato come dici tu, e se non sbaglio anche $p=3$ funziona.
Artin-Schreier l'ho tirato fuori solo perchè mi dava la risposta al secondo punto ma nel caso di $\mathbb{F}_5$, quindi mi chiedevo se ci fosse un modo per ottenere la risposta che serve a me passando per questa osservazione (cioè che $\mathbb{F}_5[\alpha]$ è di Galois su $\mathbb{F}_5$.
Si dovrebbe bastare provare la normalità, ma ora come ora non saprei come fare.
Mi chiedevo se fosse possibile provare che le altre radici di $x^5-x+1$ stanno in $\mathbb{Q}(\alpha)$, credo che basterebbe per concludere che l'estensione è di Galois, ma anche a riguardo non saprei come fare per vederlo.
Preciso che io non so se l'estensione sia di Galois o meno, mi viene chiesto di vedere se lo è, e non di dimostrare che lo è.
Grazie per la tua risposta, se ti venisse in mente qualcosa ti sarei grata!
Artin-Schreier l'ho tirato fuori solo perchè mi dava la risposta al secondo punto ma nel caso di $\mathbb{F}_5$, quindi mi chiedevo se ci fosse un modo per ottenere la risposta che serve a me passando per questa osservazione (cioè che $\mathbb{F}_5[\alpha]$ è di Galois su $\mathbb{F}_5$.
Si dovrebbe bastare provare la normalità, ma ora come ora non saprei come fare.
Mi chiedevo se fosse possibile provare che le altre radici di $x^5-x+1$ stanno in $\mathbb{Q}(\alpha)$, credo che basterebbe per concludere che l'estensione è di Galois, ma anche a riguardo non saprei come fare per vederlo.
Preciso che io non so se l'estensione sia di Galois o meno, mi viene chiesto di vedere se lo è, e non di dimostrare che lo è.
Grazie per la tua risposta, se ti venisse in mente qualcosa ti sarei grata!
Stavo anche pensando di usare la seguente strada, che però ad ora non mi porta a nulla.
Prendo $K$ campo di spezzamento di $x^5-x+1$ e considero l'estensione $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\alpha) \subset K$.
A questo punto, correggetemi se sbaglio, $K$ è di Galois su $\mathbb{Q}$ e per una proprietà lo è anche su $\mathbb{Q}(\alpha)$.
Per vedere se $\mathbb{Q}(\alpha)$ è di Galois su $\mathbb{Q}$ mi basterebbe vedere che $Gal(K/{\mathbb{Q}(\alpha)})$ è sottogruppo normale di $Gal(K/\mathbb{Q})$ (sempre per proprietà che ho ritrovato sugli appunti) e per far questo mi basterebbe vedere che $Gal(K/{\mathbb{Q}})$ è abeliano.
Non so se porti a qualcosa, ma comunque non conoscendo esplicitamente le radici e gli omomorfismi non saprei come svolgere questo passaggio.
Se qualcuno ha consigli o suggerimenti li accetto volentieri! Grazie!
Prendo $K$ campo di spezzamento di $x^5-x+1$ e considero l'estensione $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\alpha) \subset K$.
A questo punto, correggetemi se sbaglio, $K$ è di Galois su $\mathbb{Q}$ e per una proprietà lo è anche su $\mathbb{Q}(\alpha)$.
Per vedere se $\mathbb{Q}(\alpha)$ è di Galois su $\mathbb{Q}$ mi basterebbe vedere che $Gal(K/{\mathbb{Q}(\alpha)})$ è sottogruppo normale di $Gal(K/\mathbb{Q})$ (sempre per proprietà che ho ritrovato sugli appunti) e per far questo mi basterebbe vedere che $Gal(K/{\mathbb{Q}})$ è abeliano.
Non so se porti a qualcosa, ma comunque non conoscendo esplicitamente le radici e gli omomorfismi non saprei come svolgere questo passaggio.
Se qualcuno ha consigli o suggerimenti li accetto volentieri! Grazie!
Sono un po' di fretta, scusami, prova a vedere se ti torna.
Anzitutto, provare che è un sottogruppo è normale provando che tutto il gruppo è abeliano mi sembra - in questo frangente - un overkill, non penso che sia facile.
Invece, pensavo questo: il nostro polinomio, come forse hai già notato, ha una sola radice reale. Quindi l'unico $QQ$-automorfismo di $QQ(\alpha)$ è l'identità (gli automorfismi permutano le radici, $\alpha$ deve andare a finire in un'altra radice reale del polinomio, quindi è obbligata ad essere fissata), cioè il gruppo di Galois di $QQ(\alpha)$ è banale; dunque tale gruppo ha ordine 1 che è strettamente minore del grado dell'estensione $[QQ(\alpha):QQ]=5$ e pertanto l'estensione non può essere galoisiana. Ti torna?
Ribadisco, però: ricontrolla tutto perché non sono freschissimo su queste cose.
EDIT: rileggendo ora il testo del problema, mi accorgo che restano da analizzare gli altri casi: bisogna vedere che cosa capita scegliendo come $alpha$ un'altra radice (questa volta complessa) del polinomio.
Anzitutto, provare che è un sottogruppo è normale provando che tutto il gruppo è abeliano mi sembra - in questo frangente - un overkill, non penso che sia facile.
Invece, pensavo questo: il nostro polinomio, come forse hai già notato, ha una sola radice reale. Quindi l'unico $QQ$-automorfismo di $QQ(\alpha)$ è l'identità (gli automorfismi permutano le radici, $\alpha$ deve andare a finire in un'altra radice reale del polinomio, quindi è obbligata ad essere fissata), cioè il gruppo di Galois di $QQ(\alpha)$ è banale; dunque tale gruppo ha ordine 1 che è strettamente minore del grado dell'estensione $[QQ(\alpha):QQ]=5$ e pertanto l'estensione non può essere galoisiana. Ti torna?
Ribadisco, però: ricontrolla tutto perché non sono freschissimo su queste cose.
EDIT: rileggendo ora il testo del problema, mi accorgo che restano da analizzare gli altri casi: bisogna vedere che cosa capita scegliendo come $alpha$ un'altra radice (questa volta complessa) del polinomio.
Torna tutto:
ho controllato che ci fosse una sola radice reale con metodi analitici tramite lo studio della funzione
(c'è qualche altro metodo più ad occhio diciamo?
e l'osservazione che hai fatto tu è correttissima: radice reale va in radice reale che è una sola, quindi il gruppo di Galois è formato solo dall'identità.
Ora mi dico: se non ricordo male, data $\beta$ altra radice di $x^5-x+1$ diversa da $\alpha$, allora $\mathbb{Q}(\alpha)$ e $\mathbb{Q}(\beta)$ sono tra loro isomorfi.
Mi verrebbe allora da dire che comunque l'estensione non è galoisiana, anche scegliendo $\beta$ radice complessa, ma ci devo pensare ancora un po' per giustificare che l'isomorfismo non modifica il fatto che non sia galoisiana.
(anche su questo punto se dovesse venirti in mente qualche suggerimento è tutto ben accetto, nel frattempo provo a dare una giustificazione rigorosa)
e grazie!
ho controllato che ci fosse una sola radice reale con metodi analitici tramite lo studio della funzione
(c'è qualche altro metodo più ad occhio diciamo?
e l'osservazione che hai fatto tu è correttissima: radice reale va in radice reale che è una sola, quindi il gruppo di Galois è formato solo dall'identità.
Ora mi dico: se non ricordo male, data $\beta$ altra radice di $x^5-x+1$ diversa da $\alpha$, allora $\mathbb{Q}(\alpha)$ e $\mathbb{Q}(\beta)$ sono tra loro isomorfi.
Mi verrebbe allora da dire che comunque l'estensione non è galoisiana, anche scegliendo $\beta$ radice complessa, ma ci devo pensare ancora un po' per giustificare che l'isomorfismo non modifica il fatto che non sia galoisiana.
(anche su questo punto se dovesse venirti in mente qualche suggerimento è tutto ben accetto, nel frattempo provo a dare una giustificazione rigorosa)
e grazie!
Sì, anche io pensavo a metodi analitici per provare l'esistenza e l'unicità dello zero reale (non mi viene in mente nulla di più rapido e pulito).
Sono contento che ti torni tutto; per il caso complesso, non lo so, sono sincero, non so che dire; è meglio che taccia e ci rifletta un po' su, non vorrei dire scemenze rischiando di confonderti le idee.
Ad ogni modo, grazie a te, è un piacere discutere con gente interessata e seria
Sono contento che ti torni tutto; per il caso complesso, non lo so, sono sincero, non so che dire; è meglio che taccia e ci rifletta un po' su, non vorrei dire scemenze rischiando di confonderti le idee.
Ad ogni modo, grazie a te, è un piacere discutere con gente interessata e seria
Sto provando a usare il fatto che, detta $\alpha$ la radice reale del polinomio, e detta $\beta$ una sua radice complessa, $\mathbb{Q}(\alpha)$ e $\mathbb{Q}(\beta)$ sono isomorfi per vedere se c'è anche un isomorfismo tra i rispettivi gruppi di automorfismi.
In questo modo dovrei essere a posto, perchè abbiamo visto che $Aut_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\alpha)$ è banale.
Se riesco a finire, ti faccio sapere così torna tutto
In questo modo dovrei essere a posto, perchè abbiamo visto che $Aut_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\alpha)$ è banale.
Se riesco a finire, ti faccio sapere così torna tutto
Mi è venuto in mente una cosa.
L'idea che proponi potrebbe non funzionare. Mi spiego: il fatto che $QQ(\alpha)$ sia isomorfo a $QQ(\beta)$ - come campi - non ha alcun legame con l'essere isomorfi come "estensioni" (se preferisci mettici "spazi vettoriali") quindi non credo che l'essere o meno galoisiani si conservi.
Pensa al solito esempio. Considera $q(x)=x^3-2 \in QQ[x]$. Allora il campo di spezzamento è $K:=QQ(\alpha, \omega)$ dove \(\alpha=\sqrt[3]{2}\) e $\omega$ è una radice cubica primitiva dell'unità. Chiaramente $QQ(\alpha)$ non è galoisiana (per lo stesso motivo discusso qualche post fa: moralmente, non è un campo di spezzamento quindi non è normale). E però $QQ(\omega)$ è galoisiana, perché ha grado 2 su $QQ$ (il ciclotomico!). Quindi secondo me bisogna pensare a un'altra strategia; strategia che deve tener conto di "come" sono fatte queste radici complesse.
Mi spiace non saperti aiutare di più, continuo a pensarci nei ritagli di tempo. E sì, grazie, tienimi aggiornato perché sono curioso
L'idea che proponi potrebbe non funzionare. Mi spiego: il fatto che $QQ(\alpha)$ sia isomorfo a $QQ(\beta)$ - come campi - non ha alcun legame con l'essere isomorfi come "estensioni" (se preferisci mettici "spazi vettoriali") quindi non credo che l'essere o meno galoisiani si conservi.
Pensa al solito esempio. Considera $q(x)=x^3-2 \in QQ[x]$. Allora il campo di spezzamento è $K:=QQ(\alpha, \omega)$ dove \(\alpha=\sqrt[3]{2}\) e $\omega$ è una radice cubica primitiva dell'unità. Chiaramente $QQ(\alpha)$ non è galoisiana (per lo stesso motivo discusso qualche post fa: moralmente, non è un campo di spezzamento quindi non è normale). E però $QQ(\omega)$ è galoisiana, perché ha grado 2 su $QQ$ (il ciclotomico!). Quindi secondo me bisogna pensare a un'altra strategia; strategia che deve tener conto di "come" sono fatte queste radici complesse.
Mi spiace non saperti aiutare di più, continuo a pensarci nei ritagli di tempo. E sì, grazie, tienimi aggiornato perché sono curioso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo