Esercizio su elementi nilpotenti

[giaorl]

Ho risolto parzialmente un esercizio, la traccia è:
Sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario e [tex]x \in A[/tex] un elemento nilpotente. Provare che [tex]1+x\in U(A)[/tex].
Ho provato che l'asserto è vero se l'esponente per cui si annulla la potenza di x è dispari. Quando invece l'esponente è pari ho provato che [tex]1-x\in U(A)[/tex], ma non riesco a capire se da ciò posso dedurre che [tex]1+x \in U(A)[/tex]...

[Gaal Dornick]

Suggerimento:

è vero su $RR$ che
$1+x^n=(1+x)(1+x+...+x^(n-1))$
o una formula simile, non ricordo..

[giaorl]

"Gaal Dornick":Suggerimento:

è vero su $RR$ che
$1+x^n=(1+x)(1+x+...+x^(n-1))$
o una formula simile, non ricordo..

No, non è giusto, pensa a [tex]1+x^2[/tex]. Le relazioni che dici tu sono:
- per qualsiasi n: [tex](1-x^n)=(1-x)(\sum_{i=0}^{n-1}x^i)[/tex];
- per gli n dispari: [tex](1+x^n)=(1+x)(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i x^i)[/tex]
e sono proprio quelle con cui ho ottenuto i risultati di cui sopra...

[giaorl]

Che stupido che sono! Per gli n pari vale anche:
[tex](1-x^n)=(1+x)(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i x^i)[/tex]
Come non detto...