Esercizio su Domini Euclidei e Anelli simili a Int di Gauss

[PaNicko]

Salve a tutti, ho un problema che non riesco a risolvere, probabilmente mi sfugge qualcosa ma non so da dove partire, ora vi scrivo il testo.

Sia $ ZZ [w] = {x + wy : x,y in ZZ } $ , dove $ w^2 + w + 1 = 0 $. Sia $ z = x + wy in ZZ[w]$ e sia $bar(z) $ il coniugato di $z$.
Provare che $ N(z) = z bar(z) = x^2 - xy + y^2 $

Non riesco a capire il ruolo di w in questo insieme.
Io arrivo a concludere che $ N(z) = z bar(z) = x^2 - w^2y^2 $ ma rimango bloccato lì!! Potete aiutarmi??
Ringrazio tutti in anticipo!!

[cirasa]

[mod="cirasa"]Sposto in Algebra. Attenzione alla sezione la prossima volta.[/mod]

[Studente Anonimo]

Fai attenzione, il coniugio qui non manda [tex]w[/tex] in [tex]-w[/tex] (sarebbe cosi' se per esempio fosse [tex]w^2+1=0[/tex], come accade in [tex]\mathbb{C}[/tex]), manda [tex]w[/tex] nello zero di [tex]x^2+x+1[/tex] diverso da [tex]w[/tex]. Intendendo infatti il coniugio come un automorfismo non identico di [tex]\mathbb{Z}[w][/tex], esso deve permutare gli zeri del polinomio minimo di [tex]w[/tex] in modo non banale.