Esercizio su divisori dello zero anelli

[jJjjJ1]

Potete darmi una mano con questo esercizio? Non so se lo svolgo in maniera corretta, mi sembra un po' contorta.

Sia $R$ un anello e $X$ un insieme non vuoto. Sia $A=R^X$ l'insieme delle applicazioni da $X$ in $R$. Su $A$ si definiscano una addizione ed una moltiplicazione ponendo, per ogni $f,g \in A$

$(f+g)(x) = f(x) + g(x) \forall x \in X$
$(fg)(x) = f(x)g(x) \forall x \in X$

Allora $(A, +, *)$ è un anello commutativo.

Si determinino i divisori dello zero di $A$ e si dica se il loro iniseme costituisce un ideale di $A$

Io ho fatto così:

Poiché R è un anello ha almeno due elementi ( tra cui $0_R$ ) perciò in $A$ esistono sempre divisori dello zero. Infatti poiché $|R| > 2$ allora $\exists f \in A : f \ne c_0$ dove $c_0$ è la costante $c_0(x) = 0_R \forall x \in X$ Allora:

-Se $ \exists x_1 \in X: f(x_1) = 0_R $ poichè per ipotesi $f \ne c_0$ possiamo prendere $g \in A: g(x) = 0_R$ se $f(x) \ne 0_R$ e $g(x) = 1_R$ se $f(x) = 0_R$
Allora $f(x)g(x) = 0_R \forall x \in X$ e $f \ne c_0, g\ne c_0$ allora $f$ è un divisore dello zero

-Se $f(x) \ne 0_R \forall x \in X$ allora $f$ è un divisore dello zero se $ \exists x_1 \in X: f(x_1)$ è un divisore dello zero di R, in tal caso infatti $\exists k \in R: f(x_1) k = 0_R$ con $k \ne 0_R$ allora basta prendere $g \in A: g(x) = 0_R$ se $ x \ne x_1$ e $g(x_1) = k$
Allora $f(x)g(x) = 0_R \forall x \in X$ e $ f \ne c_0$ e $g \ne c_0$

Negli altri casi $f$ non è un divisore dello zero per ovvie ragioni ($f(x)g(x) = 0_R \forall x \in X \rightarrow g = c_0$)

Allora abbiamo che i divisori dello zero sono tutti e soli gli elementi di:
$D=\{ f \in R^X : \exists x \in X: f(x) = 0_R, f \ne c_0 \} \cup \{ f \in R^X : \exists x \in X, \exists 0_R \ne k \in R: f(x)k = 0_R, f(x) \ne 0_R\} $

Questo insieme non è un ideale di $A$ infatti se $f \in D$ allora dovrebbe essere $f - f \in D \rightarrow c_0 \in D$

[Steven11]

Che definizione hai di divisore dello zero? Lo zero e' o no un divisore dello zero per il testo? Per quanto ne so io no, e nella mia interpretazione questo risolve l'ultima domanda, perche' se zero non e' divisore dello zero, allora quell'insieme non contiene zero e quindi non e' un sottoanello, e quindi nemmeno un ideale. In generale, se assumi che zero non e' divisore dello zero, l'insieme dei divisori dello zero non e' mai un ideale.

I ragionamenti vanno bene, diciamo che tutto quanto puo' essere condensato dicendo che $f \in A$ e' un divisore dello zero se e solo se $f(x)=0 vee f(x)$ e' un divisore dello zero per qualche $x \in X$, e il tuo ragionamento sicuramente snellito (ad esempio non serve la considerazione iniziale su quanti elementi abbia l'anello).

[jJjjJ1]

Nel mio corso diciamo che un elemento $a$ di un anello $A$ è un divisore dello zero se $a \ne 0_A$ ed esiste $b \ne 0_A$ tale che $ab=0_A$

Quindi in effetti l'insieme dei divisori dello zero non è mai un ideale
Il fatto che $R$ abbia almeno due elementi mi serve per dire che esiste una funzione diversa dalla costante nulla ma in effetti è superfluo.

Grazie per la risposta