Esercizio su divisibilità di un numero

[UBun]

Ragazzi, ho bisogno di un aiuto!
Non so come svolgere questo esercizio!

-Qual è il più piccolo intero positivo divisibile per 495 e costituito solo dalle cifre 1 e 0?

Io ho pensato, visto che 495|k. Dove k è formato solo da 1 e 0. k sarà ovviamente multiplo di 495 e avrà alla fine NECESSARIAMENTE UNO 0.

Poi non so più come continuare...

Vi ringrazio in anticipo...!

[Pappappero1]

Ok..dunque se finisce per zero è certamente divisibile per 5, quindi dividi 495 per 5, ottenendo 99. Qual è il più piccolo intero positivo composto solo da 0 e da 1 divisibile per 99?

[Pierlu11]

Potresti usare i criteri di divisibilità e tenere presente che il numero deve essere divisibile contemporaneamente per 11, 9 e 5...

[superpippone]

Io ho trovato questo:
$111.111.111.111.110$

[Pierlu11]

Questo non è divisibile per 495... Si vede subito dal fatto che la somma delle cifre non è multiplo di 9...

[superpippone]

Lo so. Me ne sono accorto.
Mi scuso.
La cifra $1$ va ripetuta 18 volte.
$1.111.111.111.111.111.110$

[UBun]

"Pierlu11":Potresti usare i criteri di divisibilità e tenere presente che il numero deve essere divisibile contemporaneamente per 11, 9 e 5...

Quindi creare un sistema di congruenze con resti 0 e moduli 11, 9 e 5 (dove x=495)? Per poi procedere con il Teorema cinese dei resti o per sostituzione?

[UBun]

"superpippone":Lo so. Me ne sono accorto.
Mi scuso.
La cifra $1$ va ripetuta 18 volte.
$1.111.111.111.111.111.110$

Come hai fatto a trovarlo?

[Pierlu11]

"UBun":[quote="Pierlu11"]Potresti usare i criteri di divisibilità e tenere presente che il numero deve essere divisibile contemporaneamente per 11, 9 e 5...

Quindi creare un sistema di congruenze con resti 0 e moduli 11, 9 e 5 (dove x=495)? Per poi procedere con il Teorema cinese dei resti o per sostituzione?[/quote]

Non è proprio il procedimento migliore... Il ragionamento da seguire è il seguente:
- la divisibilità per 5 comporta uno 0 alla fine (come hai intuito)
- la divisibilità per nove ti dice che il numero di 1 deve essere un multiplo di 9 (perché la somma delle cifre deve essere tale)
- la divisibilità per 11 è soddisfatta solo se c'è un numero pari di 1 (altrimenti non si annullerebbero)
quindi il minor numero di 1 è 18 è il numero è quindi 1111111111111111110...

[UBun]

"Pierlu11":[quote="UBun"][quote="Pierlu11"]Potresti usare i criteri di divisibilità e tenere presente che il numero deve essere divisibile contemporaneamente per 11, 9 e 5...

Quindi creare un sistema di congruenze con resti 0 e moduli 11, 9 e 5 (dove x=495)? Per poi procedere con il Teorema cinese dei resti o per sostituzione?[/quote]

Non è proprio il procedimento migliore... Il ragionamento da seguire è il seguente:
- la divisibilità per 5 comporta uno 0 alla fine (come hai intuito)
- la divisibilità per nove ti dice che il numero di 1 deve essere un multiplo di 9 (perché la somma delle cifre deve essere tale)
- la divisibilità per 11 è soddisfatta solo se c'è un numero pari di 1 (altrimenti non si annullerebbero)
quindi il minor numero di 1 è 18 è il numero è quindi 1111111111111111110...[/quote]

Grazie mille!!! Bisognava "semplicemente" applicare i criteri di divisibilità!

Grazie ancora! Siete grandissimi!