Esercizio su corrispondenza tra insiemi !

[galles90]

Buonasera,

Sia $S$ un insieme non vuoto, e si ponga $G=(x,X) in P*P(S) : x in X $
Provare che la corrispondenza $(S*P(S),G)$ è un'applicazione di $S$ in $P(S)$ se e soltanto se $|S|=1$

Ho provato a risolverlo in questo modo, correggetemi se sbaglio...

Se suppongo che esiste la funzione,allora per def, di funzione ho, per ogni $x$ appartenente ad $S$ esisterà un solo elemento $X in P(S)$. Ora se suppongo che esista più di un elemento in $S$, allora lo stesso elemento appartiene a più di un elemento di $P(S)$, il che non è possibile. Allora deve essere $|S|=1$

Questa è sola una parte dell'esercizio, ditemi se è giusta o sbagliata, e se è sbagliata ditemi come posso procedere.
Grazie

Cordiali saluti !

[killing_buddha]

Una funzione deve avere la proprietà per cui esiste un solo $y$ tale per cui $(x,y)$ appartenga alla relazione che la definisce.

Non appena $S$ ha due elementi o più, uno dei due sta in due sottoinsiemi di $S$, il singoletto fatto solo da lui, e tutto l'insieme.

PS: E' davvero, davvero, davvero davvero una pessima, pessima idea scrivere $A * B$ per il prodotto di insiemi; il prodotto di due insiemi si denota $A\times B$.