Esercizio su campo di spezzamento
Ciao a tutti. Esame universitario di Algebra 2: dopo aver studiato la teoria sui campi di spezzamento, mi accingo a cimentarmi in qualche esercizio ma credo di aver bisogno di aiuto. L'esercizio in questione chiede di determinare un campo di spezzamento su $\Z_2$ del polinomio $f = x^4 - x^3 + x^2 - 1 \in \Z_2[x]$. Grazie anticipate. Rodolfo
Risposte
Ciao, beh innanzitutto inizia a trovare una scomposizione in irridicubili di quel polinomio 
Dovrebbe esser questa: $f = (x - 1) (1 + x + x^3)$. Dopodiché, quozientando $\Z_2[x]$ rispetto all'ideale $I$ generato dal secondo fattore, ottengo un'estensione semplice di $\Z_2$ con l'aggiunta della radice $x + I$ di $g = 1 + x + x^3$... Giusto? In realtà, ${\Z_2[x]} / I$ non è proprio quella estensione ma un qualcosa che diciamo le assomiglia, così come $x + I$ non è veramente una radice di $g$ ma del valore assunto in $g$ da un certo monorfismo. Poi...? Grazie In realtà ho come l'impressione che nei teoremi studiati manchi qualcosa per risolvere questo tipo di esercizi,
"Rodolfo Medina":
Dovrebbe esser questa: $f = (x - 1) (1 + x + x^3)$. Dopodiché, quozientando $\Z_2[x]$ rispetto all'ideale $I$ generato dal secondo fattore, ottengo un'estensione semplice di $\Z_2$ con l'aggiunta della radice $x + I$ di $g = 1 + x + x^3$... Giusto? In realtà, ${\Z_2[x]} / I$ non è proprio quella estensione ma un qualcosa che diciamo le assomiglia, così come $x + I$ non è veramente una radice di $g$ ma del valore assunto in $g$ da un certo monorfismo. Poi...? Grazie In realtà ho come l'impressione che nei teoremi studiati manchi qualcosa per risolvere questo tipo di esercizi,
Ok, appurato che il campo di spezzamento di $f$ è isomorfo a $(\mathbb{Z_2}[X])/ (1 + x + x^3)$, com'è fatto questo quoziente?
Gli elementi saranno del tipo $a + bx + cx^2 + I$ con $a, b, c \in \mathbb{Z_2}$, quante scelte ho per $a, b, c$? Ne ho $2$ per ogni coefficiente, per cui ho un campo di ben $8$ elementi che è isomorfo a $\mathbb{F_{2^3}}$ per la classificazione dei campi finiti.
Inoltre ti faccio notare che $\mathbb{F_{2^3}$ è uno spazio vettoriale di dimensione $3$ su $\mathbb{F_2} ∼ \mathbb{Z_2}$ e che il gruppo moltiplicativo $\mathbb{F_{2^3}$ è un gruppo ciclico.
Di solito per gli esercizi sui campi finiti, almeno per quelli che ho incontrato fin'ora, basta trovare la scomposizione in irriducibili del polinomio e quozientare. Potrebbe tornarti utile il seguente teorema: sia $f(x) \in \mathbb{F_p[x]}$ un polinomio qualsiasi. Sia $f(x) = f_1(x)*...*f_k(x)$ con $f_i$ irriducibili di grado $n_i$, allora i campi di spezzamento dei fattori sono i $\mathbb{F_{p^{n_i}}$ mentre il campo di spezzamento di $f(x)$ è $\mathbb{F_{p^m}}$ dove $m = mcm(n_1, ..., n_k)$
Ma la mia difficoltà è proprio questa: come faccio a dire che ${\Z_2[x]} / I$ è il mio campo di spezzamento? Tutto quello che so è che è un'estensione semplice di $\Z_2$ mediante l'aggiunta di una una radice, ma come posso dimostrare che è pure di spezzamento? Il mio problema è lì. Grazie, Rodolfo
Ti consiglio di usare il fatto che l'elevamento alla $2$ è omomorfismo di anelli (Frobenius). Quindi se $f(X)$ è un polinomio a coefficienti in $ZZ_2$ e $f(a)=0$ allora $f(a^2)=0$ (infatti $f(a^2)=f(a)^2=0^2=0$).
Perdonatemi, ho interpretato male il problema.
Propongo un'altra soluzione(che sfrutta comunque fatto noto che si dimostra con Frobenius):
$\mathbb{F}_{2^3}$ è campo di spezzamento di $x^8 - x$, adesso notando che $x^8 - x = x(x-1)(x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)$ si ha la tesi: visto che $x^8 - x$ si spezza in fattori lineari in $\mathbb{F_{2^3}}$ allora anche $x^3 + x + 1$ si spezza in fattori lineari.
Spero di non aver scritto cavolate, sono reduce da uno scritto di geometria
Ciao!
"Martino":
Ti consiglio di usare il fatto che l'elevamento alla $2$ è omomorfismo di anelli (Frobenius). Quindi se $f(X)$ è un polinomio a coefficienti in $ZZ_2$ e $f(a)=0$ allora $f(a^2)=0$ (infatti $f(a^2)=f(a)^2=0^2=0$).
Propongo un'altra soluzione(che sfrutta comunque fatto noto che si dimostra con Frobenius):
$\mathbb{F}_{2^3}$ è campo di spezzamento di $x^8 - x$, adesso notando che $x^8 - x = x(x-1)(x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)$ si ha la tesi: visto che $x^8 - x$ si spezza in fattori lineari in $\mathbb{F_{2^3}}$ allora anche $x^3 + x + 1$ si spezza in fattori lineari.
Spero di non aver scritto cavolate, sono reduce da uno scritto di geometria
Ciao!
Grazie mille a tutti e due.
Rodolfo
Rodolfo
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