Esercizio su biiezioni
Salve a tutti.
Credevo di aver assimilato le biiezioni, e invece ho trovato difficolta' con questo esercizio.
Siano $ 1 = {0} $, $ 2 = {0, 1} $, $ A = {a, b, c} $ e $ B = {x, y, z} $.
Nello specifico, e' piuttosto evidente che $ A \cong B $, ovvero che esista una biiezione fra l'insieme $ A $ e l'insieme $ B $.
L'esercizio, pero', indica anche la presenza di una biiezione tra $ A^(\emptyset) $ e $ 1^(A) $, ovvero $ A^(\emptyset) \cong 1^(A) $. Se non ho capito male, $ A^(\emptyset) $ e' l'insieme delle funzioni $ f: \emptyset \rightarrow A $, mentre $ 1^(A) $ e' l'insieme delle funzioni $ g: A \rightarrow 1 $. Ho provato ad aiutarmi con un esempio, ma - francamente - non mi e' cosi' immediato individuare la biiezione.
Allo stesso modo, secondo l'esercizio $ (A \times B) \times 1 $ non e' in biiezione con $ B \times 2 $, ovvero che non vale $ (A \times B) \times 1 \cong B \times 2 $. Intuitivamente, diciamo che mi torna, ma faccio fatica a formalizzarlo...
Grazie mille in anticipo per ogni delucidazione!
Credevo di aver assimilato le biiezioni, e invece ho trovato difficolta' con questo esercizio.
Siano $ 1 = {0} $, $ 2 = {0, 1} $, $ A = {a, b, c} $ e $ B = {x, y, z} $.
Nello specifico, e' piuttosto evidente che $ A \cong B $, ovvero che esista una biiezione fra l'insieme $ A $ e l'insieme $ B $.
L'esercizio, pero', indica anche la presenza di una biiezione tra $ A^(\emptyset) $ e $ 1^(A) $, ovvero $ A^(\emptyset) \cong 1^(A) $. Se non ho capito male, $ A^(\emptyset) $ e' l'insieme delle funzioni $ f: \emptyset \rightarrow A $, mentre $ 1^(A) $ e' l'insieme delle funzioni $ g: A \rightarrow 1 $. Ho provato ad aiutarmi con un esempio, ma - francamente - non mi e' cosi' immediato individuare la biiezione.
Allo stesso modo, secondo l'esercizio $ (A \times B) \times 1 $ non e' in biiezione con $ B \times 2 $, ovvero che non vale $ (A \times B) \times 1 \cong B \times 2 $. Intuitivamente, diciamo che mi torna, ma faccio fatica a formalizzarlo...
Grazie mille in anticipo per ogni delucidazione!
Risposte
Per quanto riguarda la prima questione, l'unico elemento di $A^emptyset$ è l'applicazione vuota mentre l'unico elemento di $1^A$ è l'applicazione costantemente uguale a $0$ in $A$. Quindi tra i due insiemi $A^emptyset$ ed $1^A$ si può istituire un'unica applicazione biiettiva.
Analogamente, quanti elementi ha $A xx B xx 1$? E quanti ne ha $B xx 2$?
Ci possono essere biiezioni tra i due insiemi?
Analogamente, quanti elementi ha $A xx B xx 1$? E quanti ne ha $B xx 2$?
Ci possono essere biiezioni tra i due insiemi?
"gugo82":
Per quanto riguarda la prima questione, l'unico elemento di $A^emptyset$ è l'applicazione vuota mentre l'unico elemento di $1^A$ è l'applicazione costantemente uguale a $0$ in $A$. Quindi tra i due insiemi $A^emptyset$ ed $1^A$ si può istituire un'unica applicazione biiettiva.
Grazie, questo mi torna.
"gugo82":
Analogamente, quanti elementi ha $A xx B xx 1$? E quanti ne ha $B xx 2$?
Da quello che ricordo, $ |(A xx B) xx 1| = |A| xx |B| xx |1| $, quindi - nella fattispecie - mi aspetto nove elementi.
Nel caso di $ B xx 2 $, mi aspetto invece sei elementi. Immagino dunque che, ad esempio, cio' renda impossibile soddisfare i requisiti per l'iniettività, dico bene?
"gugo82":
Ci possono essere biiezioni tra i due insiemi?
A questo punto, direi proprio di no.
Immagino quindi che il caso $ 1 \cong 1^(A) $ sia sostanzialmente equivalente a $ A^(\emptyset) \cong 1^(A) $, e che quindi esista una biiezione.
Invece, se dovessi studiare $ 2^2 \cong B $, posso dire che $ 2^2 $ sono le funzioni $ f: 2 \rightarrow 2 $, e che dunque $ f \subseteq 2 xx 2 $? Perche', anche in questo caso, dal momento che la cardinalita' di $ B $ e' tre, posso concludere che non vi possa essere una biiezione, giusto?
In ultimo, ci sarebbe appunto $ C^(A xx B) \cong (C^B)^A $.
Mi stavo chiedendo se quest'ultimo caso possa essere ricondotto a dimostrare che esiste una biezione $ (A xx B) xx C \cong A xx (B xx C) $, che e' piuttosto immediata.
Grazie!
"naighes":
[quote="gugo82"]Per quanto riguarda la prima questione, l'unico elemento di $A^emptyset$ è l'applicazione vuota mentre l'unico elemento di $1^A$ è l'applicazione costantemente uguale a $0$ in $A$. Quindi tra i due insiemi $A^emptyset$ ed $1^A$ si può istituire un'unica applicazione biiettiva.
Grazie, questo mi torna.[/quote]
Menomale...
"naighes":
[quote="gugo82"]Analogamente, quanti elementi ha $A xx B xx 1$? E quanti ne ha $B xx 2$?
Da quello che ricordo, $ |(A xx B) xx 1| = |A| xx |B| xx |1| $, quindi - nella fattispecie - mi aspetto nove elementi.
Nel caso di $ B xx 2 $, mi aspetto invece sei elementi. Immagino dunque che, ad esempio, cio' renda impossibile soddisfare i requisiti per l'iniettività, dico bene?[/quote]
Beh, sì... Ma non c'è bisogno di ricordare, visto che gli elementi di $A xx B xx 1$ e di $B xx 2$ li puoi elencare esplicitamente.
"naighes":
[quote="gugo82"]Ci possono essere biiezioni tra i due insiemi?
A questo punto, direi proprio di no.
[/quote]Già.
"naighes":
Immagino quindi che il caso $ 1 \cong 1^(A) $ sia sostanzialmente equivalente a $ A^(\emptyset) \cong 1^(A) $, e che quindi esista una biiezione.
Sempre insiemi con un unico elemento sono, quindi sì.
"naighes":
Invece, se dovessi studiare $ 2^2 \cong B $, posso dire che $ 2^2 $ sono le funzioni $ f: 2 \rightarrow 2 $, e che dunque $ f \subseteq 2 xx 2 $? Perche', anche in questo caso, dal momento che la cardinalita' di $ B $ e' tre, posso concludere che non vi possa essere una biiezione, giusto?
Anche qui, gli elementi di $2 xx 2$ li puoi scrivere esplicitamente, quindi non c'è molto da ragionare...
"naighes":
In ultimo, ci sarebbe appunto $ C^(A xx B) \cong (C^B)^A $.
Mi stavo chiedendo se quest'ultimo caso possa essere ricondotto a dimostrare che esiste una biezione $ (A xx B) xx C \cong A xx (B xx C) $, che e' piuttosto immediata.
E cos'è $C$?
"gugo82":
[quote="naighes"]In ultimo, ci sarebbe appunto $ C^(A xx B) \cong (C^B)^A $.
Mi stavo chiedendo se quest'ultimo caso possa essere ricondotto a dimostrare che esiste una biezione $ (A xx B) xx C \cong A xx (B xx C) $, che e' piuttosto immediata.
E cos'è $C$?[/quote]
Hai ragione, ho omesso dei particolari.
In realta', da quello che leggo, tale biiezione dovrebbe valere per qualsiasi insieme $ A $, $ B $ e $ C $.
Credo in letteratura vi si faccia riferimento come currying.
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