Esercizio su azioni di gruppi

[ludovica.sarandrea]

Salve, ho il seguente esercizio:
"Sia G un gruppo e sia H un suo sottogruppo tale che $[G]=n$. Dimostrare che H contiene un sottogruppo N normale in G, con la proprieta' che $[G]$ divide $n!$ e come suggerimento ho di considerare l'azione di G sulle classi laterali sinistre di H.
Io ho preso l'insieme $X={g_1H, g_2H....g_nH}$ e ho costruito l'azione $G x X -> X$ tale che $(g,x)->gx=gxH$ che e' a sua volta una classe laterale sinistra. E ora?

[killing_buddha]

L'azione che hai definito è un omomorfismo di gruppi \(G\to \text{Sym}(X)\); il nucleo di questa azione è un sottogruppo (normale, ovviamente) di $G$, chiamalo $N$. Ora \(G/N\) è isomorfo (teorema di isomorfismo) a un sottogruppo di Sym(X), che ha $n!$ elementi. C'è un teorema che si chiama teorema di Lagrange.
A questo punto l'indice di un sottogruppo è...; e quindi hai finito.

[ludovica.sarandrea]

Cosa intendi per $Sym(x)$??

[killing_buddha]

Oh santo cielo

[vict85]

\(\mathrm{Sym}(X)\) è uno dei molteplici modi per riferirsi al gruppo simmetrico dell'insieme \(X\). Altri sono per esempio \(S(X)\) e \(\mathfrak{S}(X)\). Aver studiato le azioni senza aver introdotto il gruppo simmetrico è alquanto raro, ma potresti averli visti nella forma di \(S_n\) (o \(\mathfrak{S}_n\) ) ovvero come l'insieme delle permutazioni su \(n\) elementi con la composizione. Se è così ti basta sostituire \(S_n\) nel discorso di killing_buddha

[ludovica.sarandrea]

Si, grazie mille
Infatti li ho sempre visti scritti in altro modo