Esercizio su azione,orbite e stabilizzatori
Buongiorno, volevo chiedere conferma a un esercizio che ho svolto, ma di cui non sono certa delle conclusioni e del ragionamento che ho seguito.
l'esercizio è questo:
Si consideri l'azione così creata:
$ Aut (ZZ12) * ZZ12 -> ZZ12 $
1) dimostrare che è un'azione
2) definirne le orbite
3) definire lo stabilizzatore di 3.
Allora io ho fatto questo ragionamento:
Gli Automorfismi di un gruppo finito sono isomorfi agli invertibili dello stesso gruppo. Gli invertibili in $ZZ12$ sono gli elementi coprimi con l'ordine del gruppo, quindi i coprimi con 12, che sono: 1,5,7,11.
Quindi gli Automorfismi di $ZZ12$ posso identificare questa azione come l'azione del gruppo di Klein all'interno di un dodecagono regolare, che permuta tutti gli elementi tramite ribaltamenti lungo le due diagonali "verticale e orizzontale" e rotazioni di $ pi $. (purtroppo non so inserire qui un disegno, ma immaginando il dodecagono come il quadrante di un orologio con vertici nelle ore, le diagonali passerebbero da 3,9 e da 6,12)
Potendo quindi immaginare $ Aut (ZZ12) $ come sottogruppo del gruppo delle permutazioni, all'interno possiamo prendere la permutazione identica, che fungerà da elemento neutro per la nostra azione. Inoltre le permutazioni sono un gruppo, e come tale chiuso per moltiplicazione, quindi l'altra relazione delle azioni $ g1 * g2 * (x) = g1g2 * (x) $ è verificata.
2) per quanto riguarda le orbite, seguendo il ragionamento, avrei queste orbite:
$ O1 = {1,5,7,11} $
$ O2 = {2,4,8,10} $
$ O3 = {3,9} $
$ O6 = {6,12} $
3) Infine, lo stabilizzatore dell'elemento 3 sarebbe il sottogruppo generato dagli elementi appartenenti alle prime 2 e dalla 4 orbite, quindi
$ < (1,5,7,11) (2,4,8,10)(6,12)> $
E questo dovrebbe essere tutto. Grazie per chi mi vorrà rispondere!
l'esercizio è questo:
Si consideri l'azione così creata:
$ Aut (ZZ12) * ZZ12 -> ZZ12 $
1) dimostrare che è un'azione
2) definirne le orbite
3) definire lo stabilizzatore di 3.
Allora io ho fatto questo ragionamento:
Gli Automorfismi di un gruppo finito sono isomorfi agli invertibili dello stesso gruppo. Gli invertibili in $ZZ12$ sono gli elementi coprimi con l'ordine del gruppo, quindi i coprimi con 12, che sono: 1,5,7,11.
Quindi gli Automorfismi di $ZZ12$ posso identificare questa azione come l'azione del gruppo di Klein all'interno di un dodecagono regolare, che permuta tutti gli elementi tramite ribaltamenti lungo le due diagonali "verticale e orizzontale" e rotazioni di $ pi $. (purtroppo non so inserire qui un disegno, ma immaginando il dodecagono come il quadrante di un orologio con vertici nelle ore, le diagonali passerebbero da 3,9 e da 6,12)
Potendo quindi immaginare $ Aut (ZZ12) $ come sottogruppo del gruppo delle permutazioni, all'interno possiamo prendere la permutazione identica, che fungerà da elemento neutro per la nostra azione. Inoltre le permutazioni sono un gruppo, e come tale chiuso per moltiplicazione, quindi l'altra relazione delle azioni $ g1 * g2 * (x) = g1g2 * (x) $ è verificata.
2) per quanto riguarda le orbite, seguendo il ragionamento, avrei queste orbite:
$ O1 = {1,5,7,11} $
$ O2 = {2,4,8,10} $
$ O3 = {3,9} $
$ O6 = {6,12} $
3) Infine, lo stabilizzatore dell'elemento 3 sarebbe il sottogruppo generato dagli elementi appartenenti alle prime 2 e dalla 4 orbite, quindi
$ < (1,5,7,11) (2,4,8,10)(6,12)> $
E questo dovrebbe essere tutto. Grazie per chi mi vorrà rispondere!
Risposte
Ciao!
Concordo su $O1$ e $O3$ ma mi risulta che $O2=\{2,10\}$, $O4 = \{4,8\}$, $O6=\{6\}$ e $O0=\{0\}$ dove $0=12$.
Inoltre discordo sul punto 3, nessun automorfismo di $ZZ12$ visto come permutazione ha struttura ciclica $(1,5,7,11)$. Gli elementi di $Aut(ZZ12)$ hanno ordine 1 oppure 2, quindi non ci sono elementi di ordine 4.
Semplicemente lo stabilizzatore di $3$ è dato da quegli elementi $x in \{1,5,7,11\}$ che verificano $3x \equiv 3\ \mod(12)$.
Concordo su $O1$ e $O3$ ma mi risulta che $O2=\{2,10\}$, $O4 = \{4,8\}$, $O6=\{6\}$ e $O0=\{0\}$ dove $0=12$.
Inoltre discordo sul punto 3, nessun automorfismo di $ZZ12$ visto come permutazione ha struttura ciclica $(1,5,7,11)$. Gli elementi di $Aut(ZZ12)$ hanno ordine 1 oppure 2, quindi non ci sono elementi di ordine 4.
Semplicemente lo stabilizzatore di $3$ è dato da quegli elementi $x in \{1,5,7,11\}$ che verificano $3x \equiv 3\ \mod(12)$.
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