Esercizio su applicazioni Znm->ZnXZm
Ciao, vorrei chiedervi una mano per il secondo esercizio di questa traccia http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tra ... cia_31.pdf
Ho pensato all'isomorfismo tra $ ZZ 210 -> ZZ 14 X ZZ 15 $ ma non so proprio come risolvere il punto a...
Ho pensato all'isomorfismo tra $ ZZ 210 -> ZZ 14 X ZZ 15 $ ma non so proprio come risolvere il punto a...
Risposte
"sara91":
Ho pensato all'isomorfismo
Perchè hai pensato all'isomorfismo? In quel caso l'immagine $ \phi(Z_{210}) $ avrebbe cardinalità 210 non 10... Ora ti dico la mia idea, vedi se ti può essere utile:
Dato che $ \phi $ è un omomorfismo fra gruppi ciclici, manda generatori di $ Z_{210} $ in generatori del gruppo $ \phi(Z_{210}) $. Un generatore di $ Z_210 $ è chiaramente 1 quindi un generatore di $ \phi(Z_{210}) $ è $ \phi(1)=([a*1]_{14},[b*1]_{15})=([a]_{14},_{15}) $ Ora ti si chiede che $ <([a]_{14},_{15})> $ = $ <[a]_{14}> xx <_{15}> $ abbia ordine 10. Questo succede per esempio quando $ <[a]_{14}> $ ha ordine 2 e $ <_{15}> $ ha ordine 5. Sai trovare due valori di $ a $ e $ b $ per cui questo accade?
Solo un commento. L'elemento generico di \(\displaystyle \langle \left([a]_{14}, _{15}\right) \rangle \) è nella forma \(\displaystyle n\left([a]_{14}, _{15}\right) = \left(n[a]_{14}, n_{15}\right) \) Il mettere il prodotto diretto potrebbe confondere anche se in definitiva non si creano problemi. Lo dico perché in passato mi era capitato di confondermi e lavorare come se l'elemento qualsiasi avesse forma \(\displaystyle \left(m[a]_{14}, n_{15}\right) \) (ma è un grave errore). In questo caso essendo \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle 5 \) coprimi non ci sono problemi ma in generale è un modo di pensarlo pericoloso.
Come ha detto perplesso \(\displaystyle \left([a]_{14}, _{15}\right) \) ha ordine \(\displaystyle 10 \) se \(\displaystyle [a]_{14} \) ha ordine \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle _{15} \) ha ordine \(\displaystyle 5 \). Per vedere che è così ti basta impostare in maniera adeguata un sistema. Ovviamente come perplesso non ti dò il risultato.
Il secondo una volta capito cosa ho scritto sopra ti basta imporre le condizioni giuste.
Per il punto (c) direi di aspettare che tu abbia capito gli altri.
In generale penso siano ideati per farti lavorare con i sistemi di congruenze.
Come ha detto perplesso \(\displaystyle \left([a]_{14}, _{15}\right) \) ha ordine \(\displaystyle 10 \) se \(\displaystyle [a]_{14} \) ha ordine \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle _{15} \) ha ordine \(\displaystyle 5 \). Per vedere che è così ti basta impostare in maniera adeguata un sistema. Ovviamente come perplesso non ti dò il risultato.
Il secondo una volta capito cosa ho scritto sopra ti basta imporre le condizioni giuste.
Per il punto (c) direi di aspettare che tu abbia capito gli altri.
In generale penso siano ideati per farti lavorare con i sistemi di congruenze.
Continuo a non capire 
potete essere un pochino più espliciti?
potete essere un pochino più espliciti?
Allora... Se \(\displaystyle 10\left([a]_{14}, _{15}\right) = \left([10a]_{14}, [10b]_{15}\right) = \left([0]_{14}, [0]_{15}\right) \) allora risulta:
\(\displaystyle \left\{\begin{align}10a &\equiv 0 \pmod{14} \\
10b &\equiv 0 \pmod{15}\end{align}\right. \)
Quindi ti sta chiedendo di risolvere questo sistema usando per esempio il teorema cinese del resto. Cosa non hai capito?
Riguardo al punto due devi trovare tutti gli \(\displaystyle a,b \in \mathbb{N}\) tali che \(\displaystyle \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([x]_6)\varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([y]_6) = \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([xy]_6) \) e \(\displaystyle \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([x]_6) + \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([y]_6) = \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([x+y]_6) \). Inoltre devi assicurarti che la funzione sia ben definita quindi che \(\displaystyle \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([x]_6) \) non dipenda dal rappresentante scelto.
Immagino tu possa ignorare la condizione in genere richiesta negli anelli unitari di mandare \(\displaystyle [1]_6 \mapsto \left([1]_{2}, [1]_{3}\right) \). Cioé non si richiede che l'omomorfismo sia unitario altrimenti la soluzione sarebbe banale.
Nell'ultimo punto tu hai già la funzione \(\displaystyle \varphi_{2,\ 35}^{3,\ 14} \) (non è richiesto di verificare che sia o meno omomorfismo ne che sia ben definita) . Si richiede quindi di trovare gli \(\displaystyle x \) tali che \(\displaystyle \left([2x]_{3}, [35x]_{14}\right) = \left([1]_{3}, [1]_{14}\right) \).
In altre parole hai il sistema
\(\displaystyle \left\{\begin{align}2x &\equiv 1 \pmod{3} \\
35x &\equiv 1 \pmod{14}\end{align}\right. \)
da risolvere.
\(\displaystyle \left\{\begin{align}10a &\equiv 0 \pmod{14} \\
10b &\equiv 0 \pmod{15}\end{align}\right. \)
Quindi ti sta chiedendo di risolvere questo sistema usando per esempio il teorema cinese del resto. Cosa non hai capito?
Riguardo al punto due devi trovare tutti gli \(\displaystyle a,b \in \mathbb{N}\) tali che \(\displaystyle \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([x]_6)\varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([y]_6) = \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([xy]_6) \) e \(\displaystyle \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([x]_6) + \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([y]_6) = \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([x+y]_6) \). Inoltre devi assicurarti che la funzione sia ben definita quindi che \(\displaystyle \varphi_{2,\ 3}^{a,\ b}([x]_6) \) non dipenda dal rappresentante scelto.
Immagino tu possa ignorare la condizione in genere richiesta negli anelli unitari di mandare \(\displaystyle [1]_6 \mapsto \left([1]_{2}, [1]_{3}\right) \). Cioé non si richiede che l'omomorfismo sia unitario altrimenti la soluzione sarebbe banale.
Nell'ultimo punto tu hai già la funzione \(\displaystyle \varphi_{2,\ 35}^{3,\ 14} \) (non è richiesto di verificare che sia o meno omomorfismo ne che sia ben definita) . Si richiede quindi di trovare gli \(\displaystyle x \) tali che \(\displaystyle \left([2x]_{3}, [35x]_{14}\right) = \left([1]_{3}, [1]_{14}\right) \).
In altre parole hai il sistema
\(\displaystyle \left\{\begin{align}2x &\equiv 1 \pmod{3} \\
35x &\equiv 1 \pmod{14}\end{align}\right. \)
da risolvere.
Grazie mille... E' l'ansia per l'esame che si avvicina che non mi fa capire neanche le cose banali >.< Grazie cmq per avermi scritto la risposta per intero, ora è chiaro 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo