Esercizio su applicazioni lineari
Devo risolvere questo esercizio:
Sia f : R3 -> R3 l’applicazione tale che
f((x, y, z)) = (x − y + 2z, Ky, Kx − y + 3z).
-Verificare che f è lineare.
-Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (B =
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) come base dello spazio di partenza e alla
base canonica (B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) come base dello spazio
di arrivo.
Aiutatemi per favore!!!Mercoledì ho l'esame!!!
Sia f : R3 -> R3 l’applicazione tale che
f((x, y, z)) = (x − y + 2z, Ky, Kx − y + 3z).
-Verificare che f è lineare.
-Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (B =
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) come base dello spazio di partenza e alla
base canonica (B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) come base dello spazio
di arrivo.
Aiutatemi per favore!!!Mercoledì ho l'esame!!!
Risposte
Saranno pur facili ma io non le sò fare!!!!:(
Ok forse ci sono per il secondo punto...
Praticamente tutto ciò che c'è scritto li vuol dire che devo scrivere lamatrice che ha per termini i coefficienti delle incognite...giusto?
Praticamente tutto ciò che c'è scritto li vuol dire che devo scrivere lamatrice che ha per termini i coefficienti delle incognite...giusto?
"Sergio":
E allora andiamo con calma.
Per dimostrare che $f$ è lineare..... si deve cominciare dalla definizione di applicazione lineare.
1) Qual è questa definizione?
2) Come dimostri, sulla base della definizione, che $f$ è lineare?
Prova a rispondere almeno alla prima domanda.
1) Siano V e V1 due spazi vettoriali sopra il campo R e f una applicazione da V a V1, si dice che f è una applicazione lineare se verifica le seguenti condizioni:
- per ogni v,w appartenenti a V: f(v+w)=f(v)+f(w)
-per ogni £(alfa) appartenente ad R, per ogni v appartenente a V: f(£v)=£f(v)
è giusto?
Per il secondo punto non ho idea di come procedere
"Sergio":
È giusto. E ora applica la definizione.
Siano $v_1=(a,b,c)$, $v_2=(d,e,f)$.
$f(v_1)=(a-b+2c,kb,ka-b+3z)$
$f(v_2)=(d-e+2f,ke,kd-e+3f)$
a) $f(v_1+v_2)=f(a+d,b+e,c+f)=?$
b) $f(\theta v_1)=f(\theta a,\theta b,\theta c)=?$
Mi dispiace ma non so farlo e mercoledì ho l'esame!!
Aiutoooooooo!!!
Ci sono!!!!
Allora:
a)
f(v1+v2)=(a-b+2c,kb,ka-b+3c)+(d-e+2f,ke,kd-e+3f)=
=(a-b+2c+d-e+2f,kb+ke,ka-b+3c+kd-e+3f)=
=((a+d)-(b+e)+2(c+f),k(b+e),k(a+d)-(b+e)+3(c+f))=
=f((a+d),(b+e),(c+f))
Se è giusta questa sono sicurissimo di aver fatto bene anche l'altra...
Ho capito come dimostrare che f è lineare ma per il secondo punto dell'esercizio?
Allora:
a)
f(v1+v2)=(a-b+2c,kb,ka-b+3c)+(d-e+2f,ke,kd-e+3f)=
=(a-b+2c+d-e+2f,kb+ke,ka-b+3c+kd-e+3f)=
=((a+d)-(b+e)+2(c+f),k(b+e),k(a+d)-(b+e)+3(c+f))=
=f((a+d),(b+e),(c+f))
Se è giusta questa sono sicurissimo di aver fatto bene anche l'altra...
Ho capito come dimostrare che f è lineare ma per il secondo punto dell'esercizio?
[quote="Sergio"
a) quando cerchi una matrice associata a basi canoniche puoi evitare di cercare le coordinate dei vettori rispetto alle basi, perché le coordinate coincidono con gli elementi; ad esempio, le coordinate del vettore $(1,2,3)$ rispetto alla base canonica sono proprio $(1,2,3)$;
[/quote]
e se invece mi tocca cercare la matrice associata ad una base non canonica?
per esempio se al posto della base canonica in questo caso la base fosse ${(2,1,0),(1,1,1),(0,3,4)}$?
a) quando cerchi una matrice associata a basi canoniche puoi evitare di cercare le coordinate dei vettori rispetto alle basi, perché le coordinate coincidono con gli elementi; ad esempio, le coordinate del vettore $(1,2,3)$ rispetto alla base canonica sono proprio $(1,2,3)$;
[/quote]
e se invece mi tocca cercare la matrice associata ad una base non canonica?
per esempio se al posto della base canonica in questo caso la base fosse ${(2,1,0),(1,1,1),(0,3,4)}$?
[quote="SergioAd esempio, se $v=(1,2,3)$, per trovare l'applicazione che trasforma $v$ in qualche altra cosa, ad esempio $f(v)=(3,4,6)$, devi lavorare sulle coordinate rispetto alla base.
Immaginiamo sempre che l'applicazione sia da $RR^3$ in $RR^3$ e che le basi di partenza e di arrivo siano uguali, e uguali a quella che hai dato tu. Devi passare da:
$v \mapsto f(v)$
a $Ax=y$, dove $x$ è il vettore delle coordinate di $v$, $y$ il vettore delle coordinate di $f(v)$, rispetto alla base.
In questo caso, le coordinate di $v$ sono $x=(-1,3,0)$, perché $(1,2,3)=-(2,1,0)+3(1,1,1)$; quelle di $y=(3,4,6)$ sono $y(-5"/"2,8,-1"/"2)$, perché $(3,4,6)=-5/2(2,1,0)+8(1,1,1)-1/2(0,3,4)$.[/quote]
Non mi è chiaro questo ultimo passaggio...
in particolare quelle frazioni non riesco a capire da dove vengono...
Immaginiamo sempre che l'applicazione sia da $RR^3$ in $RR^3$ e che le basi di partenza e di arrivo siano uguali, e uguali a quella che hai dato tu. Devi passare da:
$v \mapsto f(v)$
a $Ax=y$, dove $x$ è il vettore delle coordinate di $v$, $y$ il vettore delle coordinate di $f(v)$, rispetto alla base.
In questo caso, le coordinate di $v$ sono $x=(-1,3,0)$, perché $(1,2,3)=-(2,1,0)+3(1,1,1)$; quelle di $y=(3,4,6)$ sono $y(-5"/"2,8,-1"/"2)$, perché $(3,4,6)=-5/2(2,1,0)+8(1,1,1)-1/2(0,3,4)$.[/quote]
Non mi è chiaro questo ultimo passaggio...
in particolare quelle frazioni non riesco a capire da dove vengono...
"Sergio":
[quote="merlo"]Non mi è chiaro questo ultimo passaggio...
in particolare quelle frazioni non riesco a capire da dove vengono...
Da semplici sistemini.
Perché $x$ sia il vettore delle coordinate di $v$ rispetto ad una base, gli elementi di $x$ devono essere i coefficienti della combinazione lineare degli elementi della base che dà $v$. Quindi si parte da:
$v=((1),(2),(3))=a((2),(1),(0))+b((1),(1),(1))+c((0),(3),(4))$
e si imposta il semplice sistemino:
${(2a+b=1),(a+b+3c=2),(b+4c=3) :}$
Risolvendolo si trovano $a,b,c$, coordinate di $v$ rispetto alla base, quindi elementi di $x$.[/quote]
Ti avevo chiesto questo perchè il seguente punto dell'esercizio dice:
Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base B' come base dello
spazio di partenza e alla base canonica B come base dello spazio di
arrivo.
E non riesco a capire come fare!!!
Non capisco da dove andare a prendere la base B'?
B'={(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}
Ops l'avevo dimenticato...
Ops l'avevo dimenticato...
[quote=Sergio]
E l'applicazione è quella di prima? Spero di sì.
Per trovare la matrice associata, devi considerare che qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale è combinazione lineare degli elementi della base fissata per esso. Quindi, se sai come vengono trasformati gli elementi della base, sai come vengono trasformati tutti i vettori. E basta trovare le immagini della base di partenza, che sono (salvo errori, che vado di fretta: domani ho un esame):
$f(1,1,0)=(0,k,k-1)$
$f(0,1,1)=(1,k,2)$
$f(1,0,1)=(3,0,k+3)$.
A questo punto dovresti trovare le coordinate delle immagini rispetto alla base di arrivo. Dato che questa è canonica, coordinate ed elementi coincidono. Ti basta mettere in colonna le immagini:
$A=((0,1,3),(k,k,0),(k-1,2,k+3))$[/quo
e come le hai calcolate le immagini?
E l'applicazione è quella di prima? Spero di sì.
Per trovare la matrice associata, devi considerare che qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale è combinazione lineare degli elementi della base fissata per esso. Quindi, se sai come vengono trasformati gli elementi della base, sai come vengono trasformati tutti i vettori. E basta trovare le immagini della base di partenza, che sono (salvo errori, che vado di fretta: domani ho un esame):
$f(1,1,0)=(0,k,k-1)$
$f(0,1,1)=(1,k,2)$
$f(1,0,1)=(3,0,k+3)$.
A questo punto dovresti trovare le coordinate delle immagini rispetto alla base di arrivo. Dato che questa è canonica, coordinate ed elementi coincidono. Ti basta mettere in colonna le immagini:
$A=((0,1,3),(k,k,0),(k-1,2,k+3))$[/quo
e come le hai calcolate le immagini?
"merlo":
Devo risolvere questo esercizio:
Sia f : R3 -> R3 l’applicazione tale che
f((x, y, z)) = (x − y + 2z, Ky, Kx − y + 3z).
Sarebbe questa?
eh eh...effettivamente ho un pò il cervello fuso..domani ho l'esame di geometria e combinatoria e mi sta prendendo il panico!!!
Quindi per trovare le immagini cosa hai moltiplicato?è questo che non riesco a capire...
Quindi per trovare le immagini cosa hai moltiplicato?è questo che non riesco a capire...
è da un mese che mi preparo per dare il mio primo esame, ho riempito un quaderno intero di esercizi sugli argomenti precedenti, ma questo proprio non riesco a capirlo...è triste da dire ma forse non tutti siamo dei geni, io ci ho provato a capire, mi ci sono messo con la testa sul libro ma proprio non ci arrivo...cmq ti ringrazio davvero per aver avuto la pazienza di aiutarmi, mi sei stato di grande aiuto...dico davvero...grazie
Forse ho capito...
ho trovato tra gli appunti questo esercizio
$f:R^2$ ->$R^3$
$f: (x,y)=(2x-y,x+y,x+3y)$
$B$= base canonica di $R^2$ che dovrebbe essere ${(1,0),(0,1)}$
$B^1$=base canonica di $R^3$ che dovrebbe essere ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
$f(1,0)=(2,1,1)=2(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1)$
$f(0,1)=(-1,1,3)=-1(1,0,0)+1(0,1,0)+3(0,0,1)$
Da qui poi ricava la matrice associata all'applicazione lineare che dovrebbe essere
$A_f^B^B'=((2,-1),(1,1),(1,3))
Per calcolare la matrice associata all'applicazione devo prendere la base canonica di partenza, in questo caso $B$, e devo sostituire i valori nella applicazione in modo da ottenere i due vettori, rispettivamente $(2,1,1)$ e $(-1,1,3)$ che devo successivamente moltiplicare per la base di arrivo $B'$...
Praticamente la matrice A è la matrice associata all'applicazione lineare che passa dalla base B alla base B'...
Ho finalmente capito oppure ho detto solo stupidaggini?
ho trovato tra gli appunti questo esercizio
$f:R^2$ ->$R^3$
$f: (x,y)=(2x-y,x+y,x+3y)$
$B$= base canonica di $R^2$ che dovrebbe essere ${(1,0),(0,1)}$
$B^1$=base canonica di $R^3$ che dovrebbe essere ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
$f(1,0)=(2,1,1)=2(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1)$
$f(0,1)=(-1,1,3)=-1(1,0,0)+1(0,1,0)+3(0,0,1)$
Da qui poi ricava la matrice associata all'applicazione lineare che dovrebbe essere
$A_f^B^B'=((2,-1),(1,1),(1,3))
Per calcolare la matrice associata all'applicazione devo prendere la base canonica di partenza, in questo caso $B$, e devo sostituire i valori nella applicazione in modo da ottenere i due vettori, rispettivamente $(2,1,1)$ e $(-1,1,3)$ che devo successivamente moltiplicare per la base di arrivo $B'$...
Praticamente la matrice A è la matrice associata all'applicazione lineare che passa dalla base B alla base B'...
Ho finalmente capito oppure ho detto solo stupidaggini?
Quindi se la base fosse stata ${(2,1,0),(3,4,6),(1,1,0)}$ il sistemino si ricava in questo modo:
essendo l'applicazione da $R^3$ ->$R^3$
$v=(2,1,1)=x((2),(1),(0))+y((3),(4),(6))+z((1),(1),(0))$
da cui il sistemino
${(2x+3y+z),(x+4y+z=1),(6y=1) :}
In questo modo dovremmo ricavare le immagini rispetto alla nuova base vero?
essendo l'applicazione da $R^3$ ->$R^3$
$v=(2,1,1)=x((2),(1),(0))+y((3),(4),(6))+z((1),(1),(0))$
da cui il sistemino
${(2x+3y+z),(x+4y+z=1),(6y=1) :}
In questo modo dovremmo ricavare le immagini rispetto alla nuova base vero?
Ehm si ok...
qundi risolvendo il sistemino ricavo le coordinate dell'immagine...
Per calcolare il nucleo devo risolvere invece questo sistema:
${(x-y+2z=0),(Ky=0),(Kx-y+3z=0) :}
Me per trovare proprio l'immagine?
qundi risolvendo il sistemino ricavo le coordinate dell'immagine...
Per calcolare il nucleo devo risolvere invece questo sistema:
${(x-y+2z=0),(Ky=0),(Kx-y+3z=0) :}
Me per trovare proprio l'immagine?
Ah ho capito...
Solo una cosa stavo risolvendo il sistemino per trovare il nucleo e sono giunto a questo:
${(x=-2z),(y=0),(-2Kz+3z=0) :}$
Come la mettiamo con questo parametro $K$?Continuando nella risoluzione si vede chiaramente che la $x$ dipende da $z$ e $K$ perchè
$-2Kz+3z=0$
da cui
$z(-2K+3)=0$
quindi le soluzioni sono $z=0$ e $K=3/2$
a questo punto ci sono due soluzioni differenti?
Solo una cosa stavo risolvendo il sistemino per trovare il nucleo e sono giunto a questo:
${(x=-2z),(y=0),(-2Kz+3z=0) :}$
Come la mettiamo con questo parametro $K$?Continuando nella risoluzione si vede chiaramente che la $x$ dipende da $z$ e $K$ perchè
$-2Kz+3z=0$
da cui
$z(-2K+3)=0$
quindi le soluzioni sono $z=0$ e $K=3/2$
a questo punto ci sono due soluzioni differenti?
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