Esercizio su applicazioni composte, con tre funzioni e proprità delle applicazioni.

[galles90]

Ciao amici, ho un esercizio di algebra :

Siano \(\displaystyle S \),\(\displaystyle T \),\(\displaystyle V \),\(\displaystyle W \) insieme non vuoti e siano \(\displaystyle f \) : \(\displaystyle S \)\(\displaystyle \longrightarrow \)\(\displaystyle T \), \(\displaystyle g \) : \(\displaystyle T \)\(\displaystyle \longrightarrow \)\(\displaystyle W \) e \(\displaystyle h \) : \(\displaystyle V \)\(\displaystyle \longrightarrow \)\(\displaystyle W \) tutte applicazioni. Provare che, se le applicazioni composte \(\displaystyle g \) \(\displaystyle \circ \)\(\displaystyle f \) e \(\displaystyle h \) \(\displaystyle \circ \) \(\displaystyle g \) biettive, allora anche \(\displaystyle f \),\(\displaystyle g \) e \(\displaystyle h \) sono biettive.

Risoluzione:

In generale l'applicazione composta \(\displaystyle g \) \(\displaystyle \circ \)\(\displaystyle f \) non deve per forza risultare che g sia iniettiva oppure f lo sia, ai fini della risoluzione ho posto che l'insieme immagine \(\displaystyle G \)\(\displaystyle \left ( T \right ) \)= \(\displaystyle V \) quindi anche l'immagine dell'insieme \(\displaystyle S \) risulta essere uguale a \(\displaystyle T \), pertanto g e h sono suriettive. La seconda parte non l'ha riporto.

Non so se ho posto in modo corretto la relazione dell'insieme immagine per far risultare l'applicazione g,f, e h biettive.

Grazie a presto

[anto_zoolander]

Dal fatto che $gcircf$ sia biiettiva puoi dire che $g$ è iniettiva e $f$ suriettiva
Dal fatto che $hcircg$ sia biettiva puoi dire che $g$ è suriettiva e $h$ iniettiva

dunque hai ricavato che $g$ è biiettiva
Cosa puoi dire di $(hcircg)circg^(-1)$ e $g^(-1)circ(gcircf)$?

ricorda che $gcircg^(-1)=id_T$ e $g^(-1)circg=id_W$
E infine che $id_Tcircf:S->T$ e associa $x|->id_T(f(x))=id_T(y)=y$
In poche parole $f=g^(-1)circ(gcircf)$

ma se $g^(-1)$ e $gcircf$ sono biettive, allora $g^(-1)circ(gcircf)$ è...