Esercizio su anello delle matrici razionali 2x2
Ciao a tutti sto cercando di svolgere il seguente esercizio:
Sia Q l anello delle matrici razionali 2x2. Dimostrare che questo anello non ha altri ideali U che non siano (0) e l anello stesso.
Ho pensato che per dimostrare che affinche la condizione richiesta dall esercizio sia verificata la matrice identità debba appartenere necessariamente all ideale U se cosi fosse si avrebbe che U coincide con Q stesso poichè affinche U sia ideale deve valere:
U sottogruppo additivo di Q
Per ogni u che appartiene a U e per ogni r che appartiene a Q , ur e ru appartengono a U.
Per dimostrare che la matrice identità appartiene a U, devo avere in U una matrice invertibile t, in modo che per condizione di ideale: tk(k inversa di t)= matrice identità che quindi appartiene a U
ora viene la mia domanda : è corretto, considerare il sottoinsieme Z delle matrici non invertibili e verificare che non è un ideale
( per esempio la somma di matrici con det 0 può avere det non 0) e che quindi non è un sottogruppo additivo di Q , e affermare che quindi ciascun sottoinsieme di Z non può essere un ideale?
cosi facendo avrei che necessariamente un ideale deve contenere almeno una matrice invertibile?
Sia Q l anello delle matrici razionali 2x2. Dimostrare che questo anello non ha altri ideali U che non siano (0) e l anello stesso.
Ho pensato che per dimostrare che affinche la condizione richiesta dall esercizio sia verificata la matrice identità debba appartenere necessariamente all ideale U se cosi fosse si avrebbe che U coincide con Q stesso poichè affinche U sia ideale deve valere:
U sottogruppo additivo di Q
Per ogni u che appartiene a U e per ogni r che appartiene a Q , ur e ru appartengono a U.
Per dimostrare che la matrice identità appartiene a U, devo avere in U una matrice invertibile t, in modo che per condizione di ideale: tk(k inversa di t)= matrice identità che quindi appartiene a U
ora viene la mia domanda : è corretto, considerare il sottoinsieme Z delle matrici non invertibili e verificare che non è un ideale
( per esempio la somma di matrici con det 0 può avere det non 0) e che quindi non è un sottogruppo additivo di Q , e affermare che quindi ciascun sottoinsieme di Z non può essere un ideale?
cosi facendo avrei che necessariamente un ideale deve contenere almeno una matrice invertibile?
Risposte
No, non e' sufficiente.
In effetti puoi avere un sacco di sottogruppi additivi che non sono l'intero anello (ma non saranno ideali): ad esempio le matrici che sono nulle ovunque tranne sull'entrata in alto a sinistra. La proprieta' di assorbimento dell'ideale deve essere usata ed e' importante.
Pero' sei sulla strada giusta. Prova a prendere un ideale non nullo $I$ di $Q$. Se hai matrici di rango $2$ in $I$, vinci e siccome $I$ non e' nullo deve contenere almeno una matrice di rango $1$. Prova a scrivere una generica matrice di rango $1$ (chiamiamola $A$) e supponiamo che sia un elemento di $I$. Prova a trovare due matrici $L,R$ tali che $A + LAR$ ha rango $2$. $A \in I$ e $LAR \in I$ per l'assorbimento. Quindi $A+LAR \in I$ e vinci perche' e' invertibile.
In effetti puoi avere un sacco di sottogruppi additivi che non sono l'intero anello (ma non saranno ideali): ad esempio le matrici che sono nulle ovunque tranne sull'entrata in alto a sinistra. La proprieta' di assorbimento dell'ideale deve essere usata ed e' importante.
Pero' sei sulla strada giusta. Prova a prendere un ideale non nullo $I$ di $Q$. Se hai matrici di rango $2$ in $I$, vinci e siccome $I$ non e' nullo deve contenere almeno una matrice di rango $1$. Prova a scrivere una generica matrice di rango $1$ (chiamiamola $A$) e supponiamo che sia un elemento di $I$. Prova a trovare due matrici $L,R$ tali che $A + LAR$ ha rango $2$. $A \in I$ e $LAR \in I$ per l'assorbimento. Quindi $A+LAR \in I$ e vinci perche' e' invertibile.
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