Esercizio struttura algebrica (Q, *)

[xsl]

Salve ragazzi,

ho la seguente struttura algebrica
(Q, *) con *$: QxQ -> Q$
per ogni $x, y in Q$ x * y = $ 3/4xy $

A me risulta (applicando le definizioni) che l'operazione * è commutativa ma non è associativa, però il risultato dell'esercizio dice che (Q, *) è un Monoide!
Chi mi da una mano?

[G.D.5]

Due domande:
1) per $Q$ dobbiamo intendere $\mathbb{Q}$?
2) l'elemento $\frac{3}{4}xy$ al RHS dell'uguaglianza che definisce l'assegnazione di $\**$ è il convenzionale prodotto tra razionali?

[Gatto891]

Nell'ipotesi che entrambe le domande di Wizard abbiano risposta affermativa:

Perchè ti viene non associativa? L'associatività dovrebbe seguire direttamente dall'associatività del prodotto standard in $QQ$... prova a postare la tua dimostrazione così vediamo

[G.D.5]

Qualora le risposte fossero due "sì", quella struttura è un monoide perché l'operazione $**$ è definita per mezzo del prodotto ordinario di $QQ$, che è nototriamente associativo commutativo ed associativo.

[xsl]

Le risposte alle domande di Wizard sono affermative!

Le dimostrazioni sono:

1) Commutatività:
- Condizione: per ogni $x, y in Q$ x*y=y*x
- Dim: x*y = $3/4xy$ = $3/4yx$ = y*x

2) Associatività:
- Condizione: per ogni $x, y, z in Q$ (x*y)*z = x*(y*z)
- Dim: (x*y)*z = $(3/4xy)$*z = $3/4xyz$ poi x*(y*z) = x*$(3/4yz)$ = $3/4x(3/4yz)$

Dove sbaglio?

[Gatto891]

"xsl":
$(3/4xy)$*z = $3/4xyz$

Dove sbaglio?

Qui

[xsl]

Allora a cosa equivale $(3/4xy)$*z?

[gianni802]

equivale a 3/4(3/4xy)z

[xsl]

Ok grazie mille!
Ma risulta essere $3/4(3/4xy)z$ poichè (3/4xy)*z è considerabile come x*z (sapendo che nel caso specifico in posizione della x abbiamo (3/4xy))? oppure perchè 3/4 moltiplica anche y (quindi z dovrebbe "comportarsi come y)?
Grazie ancora..

[gugo82]

Finora avete dimostrato che $(QQ,**)$ è un semigruppo commutativo. Ma in un monoide non ci dovrebbe essere anche un elemento neutro?

(D'altra parte monoide deriva da $mu o nu o ς$, che significa uno...)

[G.D.5]

"Gugo82":Finora avete dimostrato che $(QQ,**)$ è un semigruppo commutativo. Ma in un monoide non ci dovrebbe essere anche un elemento neutro?

(D'altra parte monoide deriva da $mu o nu o ς$, che significa uno...)

Giustamente. E l'elemento neutro è...

P.S.
Ovviamente mi rivolgo all'autore del topic!

[G.D.5]

"xsl":Ok grazie mille!
Ma risulta essere $3/4(3/4xy)z$ poichè (3/4xy)*z è considerabile come x*z (sapendo che nel caso specifico in posizione della x abbiamo (3/4xy))? oppure perchè 3/4 moltiplica anche y (quindi z dovrebbe "comportarsi come y)?
Grazie ancora..

Perdonami, ma [tex]\star[/tex] è definito per mezzo della moltiplicazione in [tex]\mathbb{Q}[/tex], sicché

[tex]\forall x, y, z \in \mathbb{Q}, (x \star y) \star z \stackrel{(1)}{=}t \star z = \frac{3}{4}tz \stackrel{(2)}{=}\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}xy\right)z\stackrel{(3)}{=}\frac{3}{4}x\left(\frac{3}{4}yz\right)\stackrel{(4)}{=}\frac{3}{4}xu=x\star u=x\star(y\star z).[/tex]

Dove:
[tex](1)[/tex] si pone [tex]t:=x \star y[/tex];
[tex](2)[/tex] si usa la definizione data per [tex]\star[/tex] per [tex]t[/tex];
[tex](3)[/tex] si usano le proprietà commutativa ed associativa di [tex]\cdot[/tex] in [tex]\mathbb{Q}[/tex];
[tex](4)[/tex] si pone [tex]u:=\frac{3}{4}yz[/tex].

P.S.
Sto tab [tex] è uno spettacolo