Esercizio sottogruppo proprio
Ciao, ho il seguente esercizio:
Si provi che $ (: 12:) + (: 28:) $ è un sottogruppo proprio di $Z$, cioè che $EE$ un intero $n in Z$ e $n !in (: 12:) + (: 28:)$.
Io so che $B$ è un sottogruppo proprio di $A$ se in $A$ ho almeno un elemento che non appartiene a $B$.
Io so anche che $ (: 12:) $ + $ (: 28:) $ genera $4Z$ perché $MCD(12,28)=4$.
Ma da qui non sono sicuro su come come continuare.
Basta scrivere gli elementi contenuti nella classe $4Z$ e fare semplicemente vedere che non contiene un $n in Z$?
$B={[4],[8],[12],[16],.... }$ e dato che per esempio se prendo $n=1$ ho che $n in Z$ ma $n !in B$?
Grazie
Si provi che $ (: 12:) + (: 28:) $ è un sottogruppo proprio di $Z$, cioè che $EE$ un intero $n in Z$ e $n !in (: 12:) + (: 28:)$.
Io so che $B$ è un sottogruppo proprio di $A$ se in $A$ ho almeno un elemento che non appartiene a $B$.
Io so anche che $ (: 12:) $ + $ (: 28:) $ genera $4Z$ perché $MCD(12,28)=4$.
Ma da qui non sono sicuro su come come continuare.
Basta scrivere gli elementi contenuti nella classe $4Z$ e fare semplicemente vedere che non contiene un $n in Z$?
$B={[4],[8],[12],[16],.... }$ e dato che per esempio se prendo $n=1$ ho che $n in Z$ ma $n !in B$?
Grazie
Risposte
Non ho capito bene la domanda comunque provo a dare una risposta sperando sia quella esatta o perlomeno chiarificante!
L'insieme degli elementi $I=12z_i+28z_j$ comunque presi $z_i,z_j,inZ$ risulta essere rispetto all'addizione in $Z$ un sottogruppo,
infatti si vede facilmente che la chiusura è soddisfatta, siano $12z_1+28z_2$ e $12z_3+28z_4$ con $z_1,z_2,z_3,z_4,inZ$ due qualsiasi elementi di $I$ allora si ha:
$(12z_1+28z_2)+(12z_3+28z_4)= (12z_1+12z_3)+(28z_2+28z_4)=12(z_1+z_3)+28(z_2+z_4)in I$.
L'elemento neutro $0$ vi appartiene $0=12*0+28*0=0inI$.
Sia $12z_i+28z_j$ un qualsiasi elemento $inI$ allora anche $12*(-z_i)+28*(-z_j)inZ$ pertanto vi appartiene anche l'inverso.
Essendo ogni sottogruppo di $Z$ della forma $nZ$ , anche il sottogruppo $I$ lo sarà , infatti risulterà coincidente con il sottogruppo $4Z$ dove $MCD(12,28)=d=4=12s+28t$ per certi $s,t,inZ$, sarà il più piccolo intero positivo contenuto in $I$.
Inoltre $4Z$ è un sottogruppo proprio di $Z$, infatti $1!in4Z$, ed $4in4Z$ quindi $4ZsubZ$, ed $0Zsub4Z$
L'insieme degli elementi $I=12z_i+28z_j$ comunque presi $z_i,z_j,inZ$ risulta essere rispetto all'addizione in $Z$ un sottogruppo,
infatti si vede facilmente che la chiusura è soddisfatta, siano $12z_1+28z_2$ e $12z_3+28z_4$ con $z_1,z_2,z_3,z_4,inZ$ due qualsiasi elementi di $I$ allora si ha:
$(12z_1+28z_2)+(12z_3+28z_4)= (12z_1+12z_3)+(28z_2+28z_4)=12(z_1+z_3)+28(z_2+z_4)in I$.
L'elemento neutro $0$ vi appartiene $0=12*0+28*0=0inI$.
Sia $12z_i+28z_j$ un qualsiasi elemento $inI$ allora anche $12*(-z_i)+28*(-z_j)inZ$ pertanto vi appartiene anche l'inverso.
Essendo ogni sottogruppo di $Z$ della forma $nZ$ , anche il sottogruppo $I$ lo sarà , infatti risulterà coincidente con il sottogruppo $4Z$ dove $MCD(12,28)=d=4=12s+28t$ per certi $s,t,inZ$, sarà il più piccolo intero positivo contenuto in $I$.
Inoltre $4Z$ è un sottogruppo proprio di $Z$, infatti $1!in4Z$, ed $4in4Z$ quindi $4ZsubZ$, ed $0Zsub4Z$
Grazie per la risposta, che direi abbia centrato perfettamente quello che stavo chiededendo.
L'esercizio chiedeva se il sottogruppo in questione era da considerarsi proprio, cioè se esisteva un n contenuto in $z$ che non era però contenuto nel sottogruppo.
L'esercizio chiedeva se il sottogruppo in questione era da considerarsi proprio, cioè se esisteva un n contenuto in $z$ che non era però contenuto nel sottogruppo.
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