Esercizio sottogruppo abeliano
Ciao a tutti!! ho problemi col seguente esercizio preso dall'Artin.
Sia H un sottogruppo di G generato da $a$ e $b$. Dimostra che se $ab=ba$ allora il sottogruppo è abeliano.
Ho provato a seguire il seguente ragionamento. Prendo due elementi generici del sottogruppo $x$ e $y$ e provo a mostare come $xy=yx$.
Essendo H il sottogruppo di G generato da $a$ e $b$ posso scrivere $x=a^(n) * b^(m)$ e $y=a^(h) * b^(k)$.
Da qui seguono almeno cinque pagine di conti dove vedo ogni elemento come prodotto e cerco di usare l'associativa. ( nel senso che scrivo $a^(n) $ come $a*a*a*a..$ n volte ecc
Il procedimento in sè è giusto?
Grazie
Sia H un sottogruppo di G generato da $a$ e $b$. Dimostra che se $ab=ba$ allora il sottogruppo è abeliano.
Ho provato a seguire il seguente ragionamento. Prendo due elementi generici del sottogruppo $x$ e $y$ e provo a mostare come $xy=yx$.
Essendo H il sottogruppo di G generato da $a$ e $b$ posso scrivere $x=a^(n) * b^(m)$ e $y=a^(h) * b^(k)$.
Da qui seguono almeno cinque pagine di conti dove vedo ogni elemento come prodotto e cerco di usare l'associativa. ( nel senso che scrivo $a^(n) $ come $a*a*a*a..$ n volte ecc
Il procedimento in sè è giusto?
Grazie
Risposte
"Vanzan":CIa0 Vanzan.
Ciao a tutti!!!...
Da qui seguono almeno cinque pagine di conti...
Ma perché ci vogliono \(5\) pagine di conti per dimostrare che a causa delle ipotesi:\[xy=a^mb^na^pb^q=a^{m+p}b^{n+q}=b^{n+q}a^{m+p}=...=yx?\] Se proprio si vuole essere formali, basta utilizzare il principio di induzione: come?
Ciao J18eos !
Perchè $a^(m)*b^(n)*a^(p)*b^(q) = a^(m+p)*b^(n+q)$ ?
Per scrivere questo dovrei dimostrare che $b^(n)*a^(p) = a^(p)*b^(n)$ giusto? e questo l' "input"?
!Perchè $a^(m)*b^(n)*a^(p)*b^(q) = a^(m+p)*b^(n+q)$ ?
Per scrivere questo dovrei dimostrare che $b^(n)*a^(p) = a^(p)*b^(n)$ giusto? e questo l' "input"?
Sì, e ripeto: se vuoi essere formale lo dimostri per induzione!
Allora penso di essere in grado di dimostrare tramite induzione che se $ab=ba$ allora $(ab)^n = (ba)^n$
Tuttavia $(ab)^n != a^(n) * b^(n)$ o almeno io non riesco a vederlo. Per esempio considerando $n=2$ avrei $(ab)*(ab) = a*a*b*b$ potrei scrivere $a*(ab)*b = a*(ba)*b$ ho provato a continuare così ma non ottengo nulla. Evidentemente mi sfugge qualcosa
EDIT: Con tre però riesco: $(a*b)(a*b)(a*b) = a*(ba)*(ba)*b=a*ab(ba)*b=a*a*(ab)*b*b=a*a*a*b*b*b$
Tuttavia $(ab)^n != a^(n) * b^(n)$ o almeno io non riesco a vederlo. Per esempio considerando $n=2$ avrei $(ab)*(ab) = a*a*b*b$ potrei scrivere $a*(ab)*b = a*(ba)*b$ ho provato a continuare così ma non ottengo nulla. Evidentemente mi sfugge qualcosa
EDIT: Con tre però riesco: $(a*b)(a*b)(a*b) = a*(ba)*(ba)*b=a*ab(ba)*b=a*a*(ab)*b*b=a*a*a*b*b*b$
Quello che tu hai commesso è un errore classico, che commisi anch'io all'epoca!
Con calma:\[(ab)^2=(ab)(ab)=a(ba)b=...=a^2b^2\] ma grazie alle ipotesi; riesci a concludere per induzione?
Con calma:\[(ab)^2=(ab)(ab)=a(ba)b=...=a^2b^2\] ma grazie alle ipotesi; riesci a concludere per induzione?
Allora $(ab)^2 = (ab)*(ab)=a(ba)b=a(ab)b=aa*bb=a^(2)b^(2)$ giusto:)?
Allora ipotizzando che valga $(ab)^n = a^(n) * b^(n)$ dimostro che vale per $n+1$
$(ab)^(n+1) = [(ab)*(ab)*(ab)...]_{n}*(ab)= [(a^(n) * b^(n)](ab)$
$(a*a*...)(b*b*..)(ab)= (a*a*..)(b*b*..)_{n-1}(ba)*b$ $ = (a*a*a..)(b*b*..)_{n-1}(a)b*b$ Ho spostato $a$ di un posto e ripeto il procedimento $n$ volte e ottengo $(a*a*..)_{n+1}*(b*b..)_{n+1}=a^(n+1) *b^(n+1)$
Sicuramente non sono stato molto formale ma spero che si capisca il mio ragionamento.
Ora se considero $a^(n)*b^(m)$ e ipotizzo $n>m$ ottengo $a^(n-m)*a^(m)*b^(m)=a^(n-m)*b^(m)*a^(m)$ e ripetendo il ragionamento di prima $n-m$ volte ottengo $b^(m)*a^(n)$ giusto?
Grazie per la disponibilità, sei veramente di aiuto
Allora ipotizzando che valga $(ab)^n = a^(n) * b^(n)$ dimostro che vale per $n+1$
$(ab)^(n+1) = [(ab)*(ab)*(ab)...]_{n}*(ab)= [(a^(n) * b^(n)](ab)$
$(a*a*...)(b*b*..)(ab)= (a*a*..)(b*b*..)_{n-1}(ba)*b$ $ = (a*a*a..)(b*b*..)_{n-1}(a)b*b$ Ho spostato $a$ di un posto e ripeto il procedimento $n$ volte e ottengo $(a*a*..)_{n+1}*(b*b..)_{n+1}=a^(n+1) *b^(n+1)$
Sicuramente non sono stato molto formale ma spero che si capisca il mio ragionamento.
Ora se considero $a^(n)*b^(m)$ e ipotizzo $n>m$ ottengo $a^(n-m)*a^(m)*b^(m)=a^(n-m)*b^(m)*a^(m)$ e ripetendo il ragionamento di prima $n-m$ volte ottengo $b^(m)*a^(n)$ giusto?
Grazie per la disponibilità, sei veramente di aiuto
"Vanzan":Ma quando mai!
...Sicuramente non sono stato molto formale...
"Vanzan":Ipotesi inutile comunque è tutto corretto; per avere una dimostrazione "pulita", ricordati che devi dimostrare:\[a^nb^m=b^ma^n\] e che:\[a^{-1}b^{-1}ab=1_G\] per l'ipotesi!
...e ipotizzo $ n>m $...
"Vanzan":Prego, dovere!
...Grazie per la disponibilità, sei veramente di aiuto
ok:)! provo a finire questi ultimi passaggi da solo.
Grazie mille ancora!
Grazie mille ancora
!
Prego, di nulla!
...comunque hai finito.
...comunque hai finito.
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