Esercizio sottogruppi normali.
Buonasera, sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Sia $G$ gruppo e $N$ un sottogruppo normale di $G$. Provare che se $H,K$ sono sottogruppi di $G$ tali che \(\displaystyle H \triangleleft K \) allora il sottogruppo \(\displaystyle HN \triangleleft KN \).
Mi sono bloccato, cioè ho fatto le seguenti osservazioni
\(\displaystyle N \triangleleft G \leftrightarrow \forall a \in G\,\ \forall n \in N \ a^{-1}na \in N \),
\(\displaystyle H \triangleleft K \leftrightarrow \forall k \in K\,\ \forall h \in N \ b^{-1}hb \in H \).
Essendo $HN$ un sottogruppo allora $ b^{-1}hba^{-1}na in HN $, quindi potrei fare la seguente posizione
$h_1=b^{-1}h$ e $n_1=a^{-1}na$.
Qualora quello che ho scritto abbia un senso, dovrei dimostrare che $h_1n_1=y^(-1)h_2y$ per qualche $y in K\,\ h_2 in H$ ?... Da qui in poi non riesco a proseguire.
Con il simbolo \(\displaystyle \triangleleft\) indico la relazione di normalità.
Sia $G$ gruppo e $N$ un sottogruppo normale di $G$. Provare che se $H,K$ sono sottogruppi di $G$ tali che \(\displaystyle H \triangleleft K \) allora il sottogruppo \(\displaystyle HN \triangleleft KN \).
Mi sono bloccato, cioè ho fatto le seguenti osservazioni
\(\displaystyle N \triangleleft G \leftrightarrow \forall a \in G\,\ \forall n \in N \ a^{-1}na \in N \),
\(\displaystyle H \triangleleft K \leftrightarrow \forall k \in K\,\ \forall h \in N \ b^{-1}hb \in H \).
Essendo $HN$ un sottogruppo allora $ b^{-1}hba^{-1}na in HN $, quindi potrei fare la seguente posizione
$h_1=b^{-1}h$ e $n_1=a^{-1}na$.
Qualora quello che ho scritto abbia un senso, dovrei dimostrare che $h_1n_1=y^(-1)h_2y$ per qualche $y in K\,\ h_2 in H$ ?... Da qui in poi non riesco a proseguire.
Con il simbolo \(\displaystyle \triangleleft\) indico la relazione di normalità.
Risposte
\( N \triangleleft G \) quindi per ogni \( g \in G \) hai che \( gNg{-1} = N \)
Inoltre hai che \( H \triangleleft K \) pertanto per ogni \( k \in K \) risulta che \( kHk^{-1} = H \).
Ora prendi \( kn \in KN \) dimostriamo che
\[ kn HN (kn)^{-1} = HN \]
Preso un elemento di \(hm \in HN \) ottieni \( kn hm n^{-1} k^{-1} = k h k^{-1} k m n^{-1} k^{-1} \) ora siccome \(h \in H \) e \(k \in K \) ottieni che \( kh k^{-1} = h_1 \in H \) per normalità di \(H\), inoltre poiché \(N\) è un sottogruppo di \(G\) ottieni che \(mn^{-1} = n_1 \in N \), abbiamo così riscritto il nostro elemento nella forma
\[ h_1 k n_1 k^{-1} \]
ora poiché \( N \) è normale in \(G \) e \( k \in K \) quindi in particolare \(k \in G\) ottieni che \( k n_1 k^{-1}= n_2 \in N \) e dunque
\[ kn hm n^{-1} k^{-1} = h_1 n_2 \in HN \]
e dunque
\[ kn HN (kn)^{-1} = HN \]
Inoltre hai che \( H \triangleleft K \) pertanto per ogni \( k \in K \) risulta che \( kHk^{-1} = H \).
Ora prendi \( kn \in KN \) dimostriamo che
\[ kn HN (kn)^{-1} = HN \]
Preso un elemento di \(hm \in HN \) ottieni \( kn hm n^{-1} k^{-1} = k h k^{-1} k m n^{-1} k^{-1} \) ora siccome \(h \in H \) e \(k \in K \) ottieni che \( kh k^{-1} = h_1 \in H \) per normalità di \(H\), inoltre poiché \(N\) è un sottogruppo di \(G\) ottieni che \(mn^{-1} = n_1 \in N \), abbiamo così riscritto il nostro elemento nella forma
\[ h_1 k n_1 k^{-1} \]
ora poiché \( N \) è normale in \(G \) e \( k \in K \) quindi in particolare \(k \in G\) ottieni che \( k n_1 k^{-1}= n_2 \in N \) e dunque
\[ kn hm n^{-1} k^{-1} = h_1 n_2 \in HN \]
e dunque
\[ kn HN (kn)^{-1} = HN \]
Ciao grazie per avermi risposto.
Qui la $n$ a secondo membro non c'è, perché?
"3m0o":
$kn hm n^{-1} k^{-1} = k h k^{-1} k m n^{-1} k^{-1} $
Qui la $n$ a secondo membro non c'è, perché?
"Pasquale 90":
Ciao grazie per avermi risposto.
[quote="3m0o"] $kn hm n^{-1} k^{-1} = k h k^{-1} k m n^{-1} k^{-1} $
Qui la $n$ a secondo membro non c'è, perché?[/quote]
Perché ho sbagliato e me la sono persa via la \(n\).
Allora hai che \( HN = NH \) poiché \(N\) è normale in \(G\) in effetti se \( n \in N \) e \( h \in H \) allora \( hnh^{-1} = n_1 \in N \) e dunque \(HN \ni hn = n_1h \in NH \).
Ora prendi \( kn \in KN \) e \(hm \in HN \) allora ottieni
\[ kn hm n^{-1} k^{-1} = kn k^{-1} k h k^{-1} k mn^{-1} k^{-1} \]
Ora per normalità di \(N \) in \(G\) ottieni \( k n k^{-1} = n_1\), per stabilità di \(N\) ottieni \(mn^{-1} \in N \) e per normalità di \(N\) in \(G\) ottieni \( k mn^{-1} k^{-1} = n_2 \in N \) e per normalità di \(H \) in \(K \) ottieni \( k h k^{-1} = h_1 \in H \), pertanto
\[ kn hm n^{-1} k^{-1} = n_1 h_1 n_2 \]
ora siccome \( N \) è normale in \( G \) ottieni che \( n_1 h_1 = h_1 n_3 \in HN\) pertanto
\[ n_1 h_1 n_2 = h_1 n_3 n_2 \in H N \]
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