Esercizio - Sottogruppi di un grp ciclico di ordine $15$
Esercizio: Sia [tex]$C_{15}$[/tex] un gruppo ciclico di ordine [tex]$15$[/tex]. Fissato un generatore individuare i sottogruppi di [tex]$C_{15}$[/tex] e per ogni sottogruppo tutti i possibili generatori.
Idea:
Per il teorema di Lagrange gli eventuali sottogruppi non banali hanno ordine [tex]$3$[/tex] o [tex]$5$[/tex] (ma cosa mi dice che esistono?). Comunque, fissando un generatore [tex]$\xi$[/tex], direi (e sono molto incerto) che il sottogruppo di ordine [tex]$3$[/tex] è una cosa di questo tipo: [tex]$< \xi^5 > = \{ \xi^5 , \xi^{10} , \xi^{15} = e_{C_{15}} \}$[/tex]. Può essere?
Non so... Chiedo consiglio.
Idea:
Per il teorema di Lagrange gli eventuali sottogruppi non banali hanno ordine [tex]$3$[/tex] o [tex]$5$[/tex] (ma cosa mi dice che esistono?). Comunque, fissando un generatore [tex]$\xi$[/tex], direi (e sono molto incerto) che il sottogruppo di ordine [tex]$3$[/tex] è una cosa di questo tipo: [tex]$< \xi^5 > = \{ \xi^5 , \xi^{10} , \xi^{15} = e_{C_{15}} \}$[/tex]. Può essere?
Non so... Chiedo consiglio.
Risposte
Il caso in esame è un casa molto particolare, infatti per un gruppo ciclico esiste esattamente un sottogruppo per ogni divisore dell'ordine, e questo caratterizza i gruppi ciclici.
Chi ti assicura l'esistenza?
Se hai fatto il th. di Sylow (o di Cauchy) loro. Altrimenti non ti resta che sporcarti le mani e trovare i generatori di questi possibili sottogruppi.
Quello che hai trovato è un sottogruppo di ordine $3$. Inoltre, come detto prima, esso è unico perché, come corollario ad un punto del th. di Sylow, si ha che un sottogruppo è normale se e solo se è unico. Essendo $C_(15)$ abeliano hai che tutti i sottogruppi sono normali da cui l'unicità.
Ora devi cercare un sottogruppo (o un elemento) di ordine $5$
Se hai fatto il th. di Sylow (o di Cauchy) loro. Altrimenti non ti resta che sporcarti le mani e trovare i generatori di questi possibili sottogruppi.
Quello che hai trovato è un sottogruppo di ordine $3$. Inoltre, come detto prima, esso è unico perché, come corollario ad un punto del th. di Sylow, si ha che un sottogruppo è normale se e solo se è unico. Essendo $C_(15)$ abeliano hai che tutti i sottogruppi sono normali da cui l'unicità.
Ora devi cercare un sottogruppo (o un elemento) di ordine $5$
"mistake89":
Chi ti assicura l'esistenza?
Se hai fatto il th. di Sylow (o di Cauchy) loro. Altrimenti non ti resta che sporcarti le mani e trovare i generatori di questi possibili sottogruppi.
Quello che hai trovato è un sottogruppo di ordine $3$. Inoltre, come detto prima, esso è unico perché, come corollario ad un punto del th. di Sylow, si ha che un sottogruppo è normale se e solo se è unico. Essendo $C_(15)$ abeliano hai che tutti i sottogruppi sono normali da cui l'unicità.
Ora devi cercare un sottogruppo (o un elemento) di ordine $5$
Comunque se non hai fatto Sylow, come suggerisce dolce590, tieni a mente questo: dato un gruppo [tex]G[/tex] ciclico finito di ordine [tex]n[/tex], i.e. [tex]G=\langle g \rangle[/tex], per ogni [tex]d[/tex] divisore di [tex]n[/tex] esiste uno e un solo sottogruppo di ordine [tex]d[/tex] ed è quello ciclico generato da [tex]g^{\frac{n}{d}}[/tex].
In sostanza, Lagrange si inverte per i ciclici; e non solo, ma il precedente teorema garantisce l'unicità di tale sottogruppo.
Questo secondo aspetto è, ad esempio, molto utile per provare la non ciclicità: se becchi due sottogruppi di un gruppo finito [tex]G[/tex] con lo stesso ordine, allora [tex]G$[/tex] non è ciclico.
Ok?
No, non ho fatto i teoremi di Sylow... Tuttavia ho dimostrato una proposizione che stabilisce, per ogni divisore dell'ordine di un gruppo ciclico, l'esistenza e l'unicità di un sottogruppo che ha quell'ordine. Me ne ero dimenticato.
Il fatto che un gruppo ciclico sia abeliano deriva dal fatto che ogni gruppo ciclico di ordine [tex]$n$[/tex] può pensarsi come gruppo [tex]$(\mathbb{Z}_n , + )$[/tex]?
Grazie a tutti.
Il fatto che un gruppo ciclico sia abeliano deriva dal fatto che ogni gruppo ciclico di ordine [tex]$n$[/tex] può pensarsi come gruppo [tex]$(\mathbb{Z}_n , + )$[/tex]?
Grazie a tutti.
"Seneca":
No, non ho fatto i teoremi di Sylow... Tuttavia ho dimostrato una proposizione che stabilisce, per ogni divisore dell'ordine di un gruppo ciclico, l'esistenza e l'unicità di un sottogruppo che ha quell'ordine. Me ne ero dimenticato.
Appunto, immaginavo non avessi ancora visto Sylow; per quello ho voluto ricordarti quella proposizione di cui parli.
"Seneca":
Il fatto che un gruppo ciclico sia abeliano deriva dal fatto che ogni gruppo ciclico di ordine [tex]$n$[/tex] può pensarsi come gruppo [tex]$(\mathbb{Z}_n , + )$[/tex]?
Sì, se vuoi si può passare da lì. Ma dimostrare l'implicazione ciclico $=>$ abeliano è, comunque, un giochetto, una riga di conti (semplicemente, le potenze commutano).
"Seneca":
Grazie a tutti.
E' un piacere, come al solito. Grazie a te.
Posto un altro semplice esercizio sui gruppi ciclici che ho risolto...
Esercizio 2: Dimostrare che [tex]$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$[/tex] non è ciclico.
Dimostrazione:
Supponiamo per assurdo che [tex]$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$[/tex] sia ciclico. Sia [tex]$\alpha = ( a , b )$[/tex] , [tex]$a, b \in \mathbb{Z}$[/tex], un generatore del gruppo [tex]$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$[/tex].
1) Se [tex]$a \ne b$[/tex] non esiste alcun [tex]$z \in \mathbb{Z}$[/tex] tale che, per esempio, [tex]$z \alpha = ( 2 , 2 )$[/tex] ;
2) Se [tex]$a = b$[/tex] non esiste alcun [tex]$z \in \mathbb{Z}$[/tex] tale che [tex]$z \alpha = ( 1 , 2 )$[/tex] .
Quindi [tex]$\alpha$[/tex] non è un generatore di [tex]$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$[/tex].
Questo conclude la dimostrazione secondo voi?
Esercizio 2: Dimostrare che [tex]$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$[/tex] non è ciclico.
Dimostrazione:
Supponiamo per assurdo che [tex]$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$[/tex] sia ciclico. Sia [tex]$\alpha = ( a , b )$[/tex] , [tex]$a, b \in \mathbb{Z}$[/tex], un generatore del gruppo [tex]$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$[/tex].
1) Se [tex]$a \ne b$[/tex] non esiste alcun [tex]$z \in \mathbb{Z}$[/tex] tale che, per esempio, [tex]$z \alpha = ( 2 , 2 )$[/tex] ;
2) Se [tex]$a = b$[/tex] non esiste alcun [tex]$z \in \mathbb{Z}$[/tex] tale che [tex]$z \alpha = ( 1 , 2 )$[/tex] .
Quindi [tex]$\alpha$[/tex] non è un generatore di [tex]$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$[/tex].
Questo conclude la dimostrazione secondo voi?
Per me sì.
"maurer":
Per me sì.
Direi che mi è sufficiente! Grazie...
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