Esercizio simpatico
Salve ragazzi! Propongo un esercizio simpatico (il risolverlo lo è stato un po' meno xD) a chi prepara Algebra 1.
Esercizio. Sia $n$ un intero positivo. Provare che
\[n=\sum^{n}_{d|n}\varphi(d)\]
dove $\phi$ è la funzione di Eulero e la somma è estesa a tutti i divisori positivi di $n$.
Buon divertimento
Esercizio. Sia $n$ un intero positivo. Provare che
\[n=\sum^{n}_{d|n}\varphi(d)\]
dove $\phi$ è la funzione di Eulero e la somma è estesa a tutti i divisori positivi di $n$.
Buon divertimento
Risposte
"Plepp":Beh, si potrebbe scrivere così allora:\[\sum_{d|n;d>0}\varphi(d)\] oppure:\[\sum_{\substack{d|n\\d>0}}\varphi(d).\]
...la somma è estesa a tutti i divisori positivi di $n$...
Ne aggiungo un'altro, estremamente divertente XD spero che peppe non se la pigli a male :
Esercizio 2
Sia $f(x)=\sum_{i=1}^{p-1}x^i +1\in Q[x]$. Dimostrare che è ivi irriducibile.
hint :
Edit :Corretto
Esercizio 2
Sia $f(x)=\sum_{i=1}^{p-1}x^i +1\in Q[x]$. Dimostrare che è ivi irriducibile.
hint :
Edit :Corretto
@Armando: chi è $\mathbb{P}$? 
@Fra: figurati xD però devi correggere il post. Il polinomio è $f(x) := 1+ \cdots $
@Fra: figurati xD però devi correggere il post. Il polinomio è $f(x) := 1+ \cdots $
Esercizio 3 : (mi è venuto in mente proprio ieri, studiando geometria e le proprietà dei determinati XD ve lo propongo, è di carattere algebrico/geometrico)
Sia $A:=M_n(ZZ_p)$ l'anello delle matrici quadrate di ordine $n$ a coefficienti in $ZZ_p$, $p$ un primo. Sia $X \in A$.
Quante sono le matrici di $A$ che hanno egual determinante ad $X$?
Sia $A:=M_n(ZZ_p)$ l'anello delle matrici quadrate di ordine $n$ a coefficienti in $ZZ_p$, $p$ un primo. Sia $X \in A$.
Quante sono le matrici di $A$ che hanno egual determinante ad $X$?
@Plepp Ho avuto un abbaglio 
avevo letto divisori primi... Comunque \(\mathbb{P}\) è l'insieme dei numeri primi!
Correggo il post.
avevo letto divisori primi... Comunque \(\mathbb{P}\) è l'insieme dei numeri primi!Correggo il post.
"Kashaman":
Esercizio 3 : (mi è venuto in mente proprio ieri, studiando geometria e le proprietà dei determinati XD ve lo propongo, è di carattere algebrico/geometrico)
Sia $A:=M_n(ZZ_p)$ l'anello delle matrici quadrate di ordine $n$ a coefficienti in $ZZ_p$, $p$ un primo. Sia $X \in A$.
Quante sono le matrici di $A$ che hanno egual determinante ad $X$?
Maa che bella cosa
non ci provo ora ché sto troppo stanco...comunque secondo me si potrebbe ripartire $A$ in classi di equivalenza del tipo $A_z : =\{m\in A\ | \ \det m = z\}$, con $z\in ZZ_p$, e contare gli elementi di una generica classe, oppure sfruttando qualche proprietà dei determinanti (tipo quel che suggeriva il nostro collega...) per metterle in bigezione tra loro e dedurne...vabbé domani concludiamo dai
Mhh no secondo me la questione è più semplice. Vista l'ora tarda, forse potrei anche farneticare.
Supponiamo di Avere $A \in M_n(ZZ_p)$, che scriverò per colonne in questo modo.
$A=(A_(1) A_(2) .. A_(n))$.
Considero $A_(\gamma)=(A_(\gamma(1)) A_(\gamma(2)) .. A_(\gamma(n)) )$ , dove $\gamma \in S_n$ ($A_\gamma$ è la matrice ottenuta permutando le colonne di $A$ secondo una certa permutazione $\gamma$ di $S_n$).
Sappiamo che $det(A)=det(A_\gamma) <=> Sign(\gamma) =1$ cioè se e solo se $\gamma$ è pari.
Dunque ho $(n!)/2$ matrici di tipo $A_(\gamma)$ ottenute permutando le colonne applicando ad esse una permutazione di ordine pari tali che hanno determinante uguale ad $A$. (1)
Tenuto conto che $det(A) = det(A^T)$, si può fare un analogo ragionamento sulle righe.
E quindi detta $A ^ (\omega)$ la matrice che si ottiene permutando le righe di $A$ , ottengo altre $(n!)/2$ matrici con determinante uguale ad $A$. (2)
Da uno e due possiamo certo desumere che con egual determinante ad $A$ sono $>=n!$.
Se si riesce a stabilire quante matrici riesco a ottenere permutando righe e colonne secondo due permutazioni pari arbitrarie. ( In soldoni, quante matrici di tipo $A^(\omega)_(\gamma)$ che rispondono al problema riesco ad ottenere) , forse il problema è risolto.
Supponiamo di Avere $A \in M_n(ZZ_p)$, che scriverò per colonne in questo modo.
$A=(A_(1) A_(2) .. A_(n))$.
Considero $A_(\gamma)=(A_(\gamma(1)) A_(\gamma(2)) .. A_(\gamma(n)) )$ , dove $\gamma \in S_n$ ($A_\gamma$ è la matrice ottenuta permutando le colonne di $A$ secondo una certa permutazione $\gamma$ di $S_n$).
Sappiamo che $det(A)=det(A_\gamma) <=> Sign(\gamma) =1$ cioè se e solo se $\gamma$ è pari.
Dunque ho $(n!)/2$ matrici di tipo $A_(\gamma)$ ottenute permutando le colonne applicando ad esse una permutazione di ordine pari tali che hanno determinante uguale ad $A$. (1)
Tenuto conto che $det(A) = det(A^T)$, si può fare un analogo ragionamento sulle righe.
E quindi detta $A ^ (\omega)$ la matrice che si ottiene permutando le righe di $A$ , ottengo altre $(n!)/2$ matrici con determinante uguale ad $A$. (2)
Da uno e due possiamo certo desumere che con egual determinante ad $A$ sono $>=n!$.
Se si riesce a stabilire quante matrici riesco a ottenere permutando righe e colonne secondo due permutazioni pari arbitrarie. ( In soldoni, quante matrici di tipo $A^(\omega)_(\gamma)$ che rispondono al problema riesco ad ottenere) , forse il problema è risolto.
No, non basta secondo me...se $A=(A_1A_2\cdots A_n)$, allora la matrice $A' := (kA_1 A_2\cdots k^{-1}A_n)$, con $k\in \mathbb{K}^{\star}$ (nel nostro caso $ZZ_p$), ottenuta moltiplicando la prima colonna per lo scalare $k$ e l'ultima colonna per $k^{-1}$, ha lo stesso determinante di $A$, ma non la si può ottenere nel modo che hai indicato.
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