Esercizio semplice sui gruppi

[melli13]

Quest'insieme si tratta di un gruppo?
$G={1,2,3,4,....}$ con $a@b=a^(b)$

Bisogna verificare le tre condizioni:associatività,elemento neutro e elemento inverso.
L'associatività è verificata. Ora ho problemi a verificare l'elemento neutro.

Per definzione deve essere $a@e=e@a=a$, ma $a^(e)=e^(a)=a$ non è mai possibile...e quindi G non è un gruppo giusto?
Oppure basta che sia soddisfatta solo la prima parte della definizione, e cioè: $a@e=a$ e quindi l'elemento neutro è 1?
Grazie mille ragà...sto proprio nel pallone....

[vict85]

No, 1 non è l'elemento neutro. Quello semplicemente non è né un gruppo, né un monoide.

[melli13]

Non so nenache cosa sia un monoide...!cmq grazie mille....quindi per vedere se esiste l'elemento neutro si devono verificare contemporaneamente che $x@e=x$ e $e@x=x$? E quindi in questo caso G non è un gruppo perchè non esiste l'elemento neutro...?

[vict85]

"melli13":Non so nenache cosa sia un monoide...!cmq grazie mille....quindi per vedere se esiste l'elemento neutro si devono verificare contemporaneamente che $x@e=x$ e $e@x=x$? E quindi in questo caso G non è un gruppo perchè non esiste l'elemento neutro...?

Un monoide è una struttura algebrica con una sola operazione binaria associativa (semigruppo) e che possiede un elemento neutro. http://it.wikipedia.org/wiki/Monoide

Generalmente si chiede entrambi ma nel caso dei gruppi esiste un insieme di assiomi più ridotto che chiede la presenza di solo uno dei due oltre che l'inverso dello stesso lato.

Si può dimostrare che se esiste $e$ tale che $ea = a$ per ogni $a$ e se, per ogni $a$ esiste $a'$ tale che $a'a=e$ allora il semigruppo è un gruppo.

Se vuoi puoi provare a dimostrarlo. Puoi solo usare associatività e le due relazioni sopra.

[asdfghjkl2707]

scusate se intervengo, ma il problema qui non è tanto l'elemento neutro... quanto che l' operazione NON è associativa
infatti
$ (a@b)@c=(a^b)^c $
mentre
$ a@(b@c)=a^((b^c)) $
e sono diversi...
infatti se
$ a=2, b=3, c=4 $
$ (a@b)@c=(a^b)^c=2^(3*4)=2^12 $
$ a@(b@c)=a^((b^c))=2^(3^4)=2^81 $
quindi quello non è neanche un semigruppo... è un magma! ;p
ciaoo

[vict85]

"asdfghjkl2707":scusate se intervengo, ma il problema qui non è tanto l'elemento neutro... quanto che l' operazione NON è associativa
infatti
$ (a@b)@c=(a^b)^c $
mentre
$ a@(b@c)=a^((b^c)) $
e sono diversi...
infatti se
$ a=2, b=3, c=4 $
$ (a@b)@c=(a^b)^c=2^(3*4)=2^12 $
$ a@(b@c)=a^((b^c))=2^(3^4)=2^81 $
quindi quello non è neanche un semigruppo... è un magma! ;p
ciaoo

Hai ragione ma mi sono fidato sull'associatività dato che stava chiedendo l'elemento neutro.