Esercizio semplice su anello quoziente
Testo:
Sia $ K=mathbb(Z//3Z) $ e $ F=K[X]//(f) $ , dove $f$ è il polinomio
$f:=X^2+X+2$
a)$F$ è campo?
b)Si determini il grado dell’estensione$[F]$
c)Si elenchino gli elementi di $F$.
d)Si scriva $f$ come prodotto di fattori lineari in F[x].
Sol.:
a)$F$ è campo poiché $f$ è di grado 3 e irriducibile in $K$.
b)Il grado dell'estensione è 2 e una sua base è data da $B={1,overline(X)}$.
c) $F={a+boverline(X):a,b in K}.$ Poichè $K$ è $mathbb(Z//3Z)$ $F$ ha 9 elementi, e questi vengono ad essere
$F={overline(0),overline(1),overline(X),overline(1+X),overline(1+2X),overline(2),overline(2+X),overline(2+2X),overline(2X)}$
d)Qui non so come procedere.
Dal thm. di Kronecker so che $alpha=overline(X)$ è un zero, ma chiaramente mi manca l'altro.
Sapendo inoltre che:
$overline(X^2) + overline(X) + overline(2)=overline(0)$, posso ricavare informazioni del tipo $overline(X^2)=overline(1) +overline(2X)$, oppure $overline(1)=overline(X^2)+overline(X)$.
Però non so come altro muovermi...
Sia $ K=mathbb(Z//3Z) $ e $ F=K[X]//(f) $ , dove $f$ è il polinomio
$f:=X^2+X+2$
a)$F$ è campo?
b)Si determini il grado dell’estensione$[F]$
c)Si elenchino gli elementi di $F$.
d)Si scriva $f$ come prodotto di fattori lineari in F[x].
Sol.:
a)$F$ è campo poiché $f$ è di grado 3 e irriducibile in $K$.
b)Il grado dell'estensione è 2 e una sua base è data da $B={1,overline(X)}$.
c) $F={a+boverline(X):a,b in K}.$ Poichè $K$ è $mathbb(Z//3Z)$ $F$ ha 9 elementi, e questi vengono ad essere
$F={overline(0),overline(1),overline(X),overline(1+X),overline(1+2X),overline(2),overline(2+X),overline(2+2X),overline(2X)}$
d)Qui non so come procedere.
Dal thm. di Kronecker so che $alpha=overline(X)$ è un zero, ma chiaramente mi manca l'altro.
Sapendo inoltre che:
$overline(X^2) + overline(X) + overline(2)=overline(0)$, posso ricavare informazioni del tipo $overline(X^2)=overline(1) +overline(2X)$, oppure $overline(1)=overline(X^2)+overline(X)$.
Però non so come altro muovermi...
Risposte
Se guardi i coefficienti del polinomio puoi osservare che la somma delle radici è $-1$...
grazie della risposta !
Scusa, ma non riesco a osservare questo fatto... io le radici non le conosco. Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, me lo sento
Scusa, ma non riesco a osservare questo fatto... io le radici non le conosco. Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, me lo sento
Penso di aver risolto 
Sapendo che uno zero è $overline(X)$, per il teorema di Ruffini so che $X-overline(X)$ divide il polinomio.
La divisione tra polinomi è possibile effettuarla in quanto siamo in un anello euclideo.
Poiché siamo in $mathbb{Z//3Z}$, allora $X-overline(X)=X+overline(2X)$.
Ho fatto la divisione tra $X^2+X+2$ e $X+overline(2X)$, ottenendo resto $overline(X^2) + overline(X) + overline(2)=overline(0)$ e come risultato $X+1+overline(2X)$.
Quindi l'altro fattore è proprio $X-(1+overline(2X))$.
Sapendo che uno zero è $overline(X)$, per il teorema di Ruffini so che $X-overline(X)$ divide il polinomio.
La divisione tra polinomi è possibile effettuarla in quanto siamo in un anello euclideo.
Poiché siamo in $mathbb{Z//3Z}$, allora $X-overline(X)=X+overline(2X)$.
Ho fatto la divisione tra $X^2+X+2$ e $X+overline(2X)$, ottenendo resto $overline(X^2) + overline(X) + overline(2)=overline(0)$ e come risultato $X+1+overline(2X)$.
Quindi l'altro fattore è proprio $X-(1+overline(2X))$.
Che ne dici @spugna?
Ti dovrebbe venire $X-(2 \overline{X}-1)$, prova a rifare l'ultimo conto...
In ogni caso, il senso della mia risposta era questo: hai un polinomio $X^2+aX+b$, di cui vuoi trovare le radici $X_1$ e $X_2$, ma allora per Ruffini bisogna trovare gli elementi del campo tali che il polinomio di partenza si scomponga in $(X-X_1)(X-X_2)$, cioè, uguagliando i coefficienti, $X_1+X_2=-a$ e $X_1X_2=b$. Tu però conosci già una radice, quindi con una delle due equazioni appena scritte puoi calcolare in un attimo l'altra.
In ogni caso, il senso della mia risposta era questo: hai un polinomio $X^2+aX+b$, di cui vuoi trovare le radici $X_1$ e $X_2$, ma allora per Ruffini bisogna trovare gli elementi del campo tali che il polinomio di partenza si scomponga in $(X-X_1)(X-X_2)$, cioè, uguagliando i coefficienti, $X_1+X_2=-a$ e $X_1X_2=b$. Tu però conosci già una radice, quindi con una delle due equazioni appena scritte puoi calcolare in un attimo l'altra.
Tutto chiaro !
Grazie per la risposta, la mia era poco più di una curiosità. Grazie per essere stato "in ascolto"
Grazie per la risposta, la mia era poco più di una curiosità. Grazie per essere stato "in ascolto"
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