Esercizio scritto di algebra

[ElCastigador]

Ragazzi non riesco a venirne a capo con questo esercizio,mi sapreste indicare lo svolgimento?

$ "Sia " S = {n ∈ N | n < 8} " e si consideri l’applicazione "
f : (X, Y ) ∈ P(S) × P(S) → |X ∩ Y | ∈ {n ∈ N | n < 9} $ ed il suo nucleo di equivalenza *f

1)f è iniettiva?f è suriettiva?

2)Quanti sono gli $ Yin P(S) $ tale che $ f({4},Y)=0 $ ?

3)Quanti elementi ha P(S) X P(S)/*f? Esiste una coppia (X,Y) di P(S) X P(S ) tale che [(X,Y)]*f abbia un solo elemento?Se si indicare tale coppia

[Davi901]

Ciao.
$S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$, $|S|=8$
Ovviamente tale applicazione non è iniettiva perché
\( f(\{1,3\},\{1,4\})=f(\{1,4\},\{1,5\})=1 \) e ma è surgettiva perché ogni naturale $0\leq k\leq 8\quad\exists\quad(X,Y)\in \mathcal{P}(S)x\mathcal{P}(S)$ tale che $f(X,Y)=k$. Ad esempio (X,Y)=(\{0,\dots,k-1\},\{0,\dots,k-1\}) se $k\neq 0$, se $k=0$ basta prendere (X,Y)=(\{1\},\{2\}).

Gli $Y\in\mathcal{P}(S)$ tali che $f(\{4\},Y)=0$ sono ovviamente tutti i sottoinsiemi di $\mathcal{P}(S)$ che non contengono il numero 4 il cui numero è $2^7=128$.

Per poiché c'è una corrispondenza biunivoca tra ($\mathcal{P}(S)$ x $\mathcal{P}(S)$)/$ ker(f)$ e $Im(f)=\{n\in\mathbb{N}| n<9\}$ (perché surgettiva). Allora $|\mathcal{P}(S)$ x $\mathcal{P}(S)$)/$ ker(f)|=9$.
Cosa intendi con la scrittura [(X,Y)]*f?
PS: è tardi e spero di aver risposto correttamente...Se ci sono errori spero che mi correggano. ..