Esercizio $RRcongRR^2setminusS$
Dovevo dimostrare che dato $S={(a,3a)inRR^2| a inRR}$ il quoziente $RR^2setminusS$ fosse isomorfo $RR$ dove le strutture sono entrambe additive.
L’idea è che i laterali sono costituiti dalle rette affini passanti per $(x,y)$ e avente direzione $(1,3)$
Quindi l’isomorfismo che ho considerato è $f(x)=(x,x)+S$
L’idea di base è che comunque due classi coincidono se due punti appartengono a una stessa retta. Quindi in genere dato un punto del piano $(x,y)$ ne esiste sicuramente uno del tipo $(z,z)$ appartenente alla stessa retta.
L’iniettività è facile mostrarla visto che $f(x)=f(y)=>(x-y,x-y)=(a,3a)$ per qualche $a inRR$ da cui si ottiene $a=0$ e quindi $x=y$
Quella più delicata è la suriettivitá per cui in genere ho mostrato che dato $(x,y)+S$ si può considerare $z=(3x-y)/2inRR$ per cui si ottiene $f(z)=(x,y)+S$
Sommariamente è corretto?
L’idea è che i laterali sono costituiti dalle rette affini passanti per $(x,y)$ e avente direzione $(1,3)$
$(x,y)+S={(z,t)inRR^2:(x-z,y-t)inS}$
Quindi l’isomorfismo che ho considerato è $f(x)=(x,x)+S$
L’idea di base è che comunque due classi coincidono se due punti appartengono a una stessa retta. Quindi in genere dato un punto del piano $(x,y)$ ne esiste sicuramente uno del tipo $(z,z)$ appartenente alla stessa retta.
L’iniettività è facile mostrarla visto che $f(x)=f(y)=>(x-y,x-y)=(a,3a)$ per qualche $a inRR$ da cui si ottiene $a=0$ e quindi $x=y$
Quella più delicata è la suriettivitá per cui in genere ho mostrato che dato $(x,y)+S$ si può considerare $z=(3x-y)/2inRR$ per cui si ottiene $f(z)=(x,y)+S$
Sommariamente è corretto?
Risposte
Con te mi rimane sempre il dubbio se una dimostrazione l'ho fatta bene o no. Menomale che ho fiducia in me stesso! 
Va (quasi) sempre bene, e quando non va bene sono molto preciso a indicarti l'errore; le altre volte io dico la stessa dimostrazione che dici tu, una gerarchia linguistica più in alto. E' un ottimo meta-esercizio: (a) cerca di capire perché la dimostrazione "è la stessa" (b) cerca di capire come alleggerire la notazione, che tieni sempre molto pesante (c) le volte in cui mi è facile rilanciare con un problema leggermente più generale ti appare chiaro che -come infatti è- nessun esercizio finisce mai. 
Scommetto che il quasi è dato dal fatto che io non usi la teoria delle categorie 
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