Esercizio riguardante il Teorema di Fermat
Buongiorno, vi scrivo per chiedervi aiuto per capire come risolvere un esercizio.
Utilizzando il teorema di Fermat dire per quali $n ∈ Z$ il numero $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2$ è multiplo di $11$.
Utilizzando il teorema di Fermat dire per quali $n ∈ Z$ il numero $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2$ è multiplo di $11$.
Risposte
Ciao 
Trovare per quali $n \in ZZ$ $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2 $ è un multiplo di $11$ equivale a trovare per quali $n$ la congruenza $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2 \equiv 0 mod 11$ è vera.
$11$ è primo, quindi puoi avere due casi:
1)$MCD(n, 11) = 11$ e quindi $n \equiv 0 mod 11$
2)$MCD(n, 11) = 1$ e quindi per fermat hai che $n^10 \equiv 1 mod 11$
Dunque se $(n, 11) = 11$ allora $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2$ a cosa è uguale modulo $11$?
E se $(n, 11) = 1$?
Trovare per quali $n \in ZZ$ $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2 $ è un multiplo di $11$ equivale a trovare per quali $n$ la congruenza $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2 \equiv 0 mod 11$ è vera.
$11$ è primo, quindi puoi avere due casi:
1)$MCD(n, 11) = 11$ e quindi $n \equiv 0 mod 11$
2)$MCD(n, 11) = 1$ e quindi per fermat hai che $n^10 \equiv 1 mod 11$
Dunque se $(n, 11) = 11$ allora $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2$ a cosa è uguale modulo $11$?
E se $(n, 11) = 1$?
Ti ringrazio per la risposta!
Quindi se non ho capito male nel caso (1) $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2$ dovrebbe essere uguale a $2 mod 11$.
Mentre nel caso (2) $9n^30+4n^21+7n^12+2$ dovrebbe essere uguale a $7n^2+4n+11$.
A questo punto come vado avanti?
Quindi se non ho capito male nel caso (1) $9n^30 + 4n^21 + 7n^12 + 2$ dovrebbe essere uguale a $2 mod 11$.
Mentre nel caso (2) $9n^30+4n^21+7n^12+2$ dovrebbe essere uguale a $7n^2+4n+11$.
A questo punto come vado avanti?
Ciao,
allora hai $7n^2 + 4n + 11 \equiv 0 \mod 11 \Rightarrow 7n^2 + 4n \equiv 0 \mod 11 \Rightarrow n(7n + 4) \equiv 0 \mod 11$. Dato che $11$ è primo $\mathbb{Z_11}$ è un campo, quindi vale la legge di annullamento del prodotto: $ n(7n + 4) \equiv 0 \mod 11 \Rightarrow n \equiv 0 mod 11 \or 7n + 4 \equiv 0 \mod \11$. Risolvendo queste due congruenze(lineari) ottieni gli $n$ cercati.
allora hai $7n^2 + 4n + 11 \equiv 0 \mod 11 \Rightarrow 7n^2 + 4n \equiv 0 \mod 11 \Rightarrow n(7n + 4) \equiv 0 \mod 11$. Dato che $11$ è primo $\mathbb{Z_11}$ è un campo, quindi vale la legge di annullamento del prodotto: $ n(7n + 4) \equiv 0 \mod 11 \Rightarrow n \equiv 0 mod 11 \or 7n + 4 \equiv 0 \mod \11$. Risolvendo queste due congruenze(lineari) ottieni gli $n$ cercati.
Ti ringrazio ancora e ti chiedo scusa, ma purtroppo non ho la più pallida idea di come si risolva la seconda congruenza.
Equivale a fare la congruenza $7n = 7 mod 11$?
Equivale a fare la congruenza $7n = 7 mod 11$?
Certo: $7n + 4 \equiv 0 \mod 11 \Rightarrow 7n \equiv -4 \mod 11 \Rightarrow 7n \equiv 7 \mod 11$.
Adesso $(7, 11) = 1$ dunque $7$ è invertibile rispetto al prodotto(puoi anche dire che dato che sei in un campo ogni elemento non nullo ha inverso moltiplicativo) e quindi hai che $n \equiv 1 \mod 11$.
Adesso $(7, 11) = 1$ dunque $7$ è invertibile rispetto al prodotto(puoi anche dire che dato che sei in un campo ogni elemento non nullo ha inverso moltiplicativo) e quindi hai che $n \equiv 1 \mod 11$.
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