Esercizio Relazione di Equivalenza
Salve a tutti,sto eseguendo questo esercizio e mi trovo un pò in difficoltà,o meglio ho qualche dubbio.Ho verificato se è riflessiva e,se non ho fatto sbaglio,lo è;mentre ho dei dubbi circa la simmetria e transitività in quanto a e b sono in relazione solo se a=b perchè coppie diverse darebbero numeri non divisibili per 17,sempre se non erro.Per favore chiaritemi questo dubbio!
Risposte
Non è vero, prova con la coppia $(1,18)$ ad esempio...
Vero,quindi non dovrebbe essere simmetrica,per la transitività invece?
Perché non è simmetrica? La coppia che ti ho portato ad esempio soddisfa la relazione, e lo fa anche la simmetrica...
Per la simmetria, dovrei fare inizialmente a in relazione con b con la coppia (1,18) ovvero 17|187 ed è vero,se facessi b in relazione con a sempre con la relazione (1,18) non sarebbe 17|7*18+1*10 ovvero 17|136 ed è vera.Ho appena notato che vale anche b in relazione con a,probabilmente ho sbagliato calcoli precedentemente,scusate 
Salve ragazzi,scusate il doppio post,ho ancora qualche problema con queste relazioni..potreste aiutarmi a risolvere questa qui?
Chiamo la relazione $ \omega $ perché mi torna più comodo
$ \omega $ è una relazione di equivalenza infatti:
$ \omega $ è riflessiva: preso $ x \in Z $ si ha che $ f( x ) = f( x ) $ per la riflessività di $ = $, allora $ \forall x \in Z, x \omega x$
$ \omega $ è simmetrica: siano $ x, y \in Z, x \omega y $ allora si ha che $ f( x ) = x^2 +3 = y^2 + 3 = f( y ) $ , ma, per la simmetria della relazione $ = $ si ha $ f( y ) = y^2 + 3 = x^2 +3 = f( x ) $ ovvero $ y \omega x $
$ \omega $ è transitiva: infatti siano $ x, y, t \in Z $ con $ x \omega y $ e $ y \omega t $ allora si ha che $ f(x) = f(y) $ e $f(y)=f(t)$ e per la transitività di $=$ si ha che $f(x) = f(t)$ ovvero $x \omega \t$
$[1]_\omega = \{ x \in Z : f(x) = f(1) \}$ Abbiamo che $f(1) = 4$ e se cerchi di risolvere $x^2 +3 = 4$ ottieni che $x = 1$ e $x = -1$ perciò $[1]_omega = { 1, -1 }$
Osserva che quella relazione è la relazione associata all'applicazione $f$ e questa è una relazione di equivalenza.
$ \omega $ è una relazione di equivalenza infatti:
$ \omega $ è riflessiva: preso $ x \in Z $ si ha che $ f( x ) = f( x ) $ per la riflessività di $ = $, allora $ \forall x \in Z, x \omega x$
$ \omega $ è simmetrica: siano $ x, y \in Z, x \omega y $ allora si ha che $ f( x ) = x^2 +3 = y^2 + 3 = f( y ) $ , ma, per la simmetria della relazione $ = $ si ha $ f( y ) = y^2 + 3 = x^2 +3 = f( x ) $ ovvero $ y \omega x $
$ \omega $ è transitiva: infatti siano $ x, y, t \in Z $ con $ x \omega y $ e $ y \omega t $ allora si ha che $ f(x) = f(y) $ e $f(y)=f(t)$ e per la transitività di $=$ si ha che $f(x) = f(t)$ ovvero $x \omega \t$
$[1]_\omega = \{ x \in Z : f(x) = f(1) \}$ Abbiamo che $f(1) = 4$ e se cerchi di risolvere $x^2 +3 = 4$ ottieni che $x = 1$ e $x = -1$ perciò $[1]_omega = { 1, -1 }$
Osserva che quella relazione è la relazione associata all'applicazione $f$ e questa è una relazione di equivalenza.
Per la simmetria della prima: poni $7a+10b=k17$, infatti esisterà un $k$ per cui vale la relazione. Poi prova a capire, a partire da questa equazione, quanto vale $7b+10a$. Per il secondo, dov'è che trovi problemi?
Ho un pò di confusione nel dimostrare se è riflessiva,simmetrica e transitiva
Beh, "purtroppo" per il secondo ha già risolto tutto jJjjJ 
Sei riuscito col primo?
Sei riuscito col primo?
Ho delle soluzioni di esercizi quasi uguale al primo:
Per la riflessiva ok,per la simmetria mi sembra normale che "sommando" aRb e bRa ottenga 15|15a+15b e sottraendo aRb ottenga bRa,stessa cosa per la transitività.Cosa deve accadere affinchè non sia simmetrica e/o transitiva?
PS. Scusate il disturbo e la perdita di tempo,ma è uno dei pochi concetti che mi è meno chiaro e vorrei dare l'esame di discreta il prima possibile
Per la riflessiva ok,per la simmetria mi sembra normale che "sommando" aRb e bRa ottenga 15|15a+15b e sottraendo aRb ottenga bRa,stessa cosa per la transitività.Cosa deve accadere affinchè non sia simmetrica e/o transitiva?
PS. Scusate il disturbo e la perdita di tempo,ma è uno dei pochi concetti che mi è meno chiaro e vorrei dare l'esame di discreta il prima possibile
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo