Esercizio relazione d'equivalenza 2

[vecio88]

Salve ragazzi, durante la mia disperata preparazione per l'esame di discreta, mi sono inbattutto in un altro ostacolo.

Sia X = $NN$$^2 $

(a,b) R (c,d) <==> ab = cd

devo dimostrare che è di equivalenza

a) riflessivita

$AA$ a € X ab R ab

ab = ab

Giusto??

b) Simmetria


$AA$ a € X ab R ba

Qui mi sono bloccato. Devo considerare la coppia (a,b) o ab??
E (c,d) non li considero proprio??

[Zilpha]

"vecio88":
Sia X = $NN$$^2 $

(a,b) R (c,d) <==> ab = cd

devo dimostrare che è di equivalenza

a) riflessivita

$AA$ a € X ab R ab

ab = ab

Giusto??

Si, perchè?

"vecio88":
b) Simmetria


$AA$ a € X ab R ba

Qui mi sono bloccato. Devo considerare la coppia (a,b) o ab??
E (c,d) non li considero proprio??

qui non capisco perchè fai confusione!

[vecio88]

faccio confusione perche c'è cd

[Zilpha]

"vecio88":faccio confusione perche c'è cd

ah ho capito. Scusa, ho scritto io una cavolata! Correggo!!!

[Zilpha]

Allora, vuoi mostrare la proprietà di simmetria, cioè: $(a,b)R(c,d) => (c,d)R(a,b)$.
$ (a,b)R(c,d) <=> ab=cd<=>cd=ab$ (perchè la relazione di uguaglianza è simmetrica) e quindi hai la tesi!

[vecio88]

Perciò possiamo dire che è simmetrica?

Per la transitività invece?

[dariuz89]

Dobbiamo mostrare che [tex](a,b) R (c,d) \Longleftrightarrow (c,d) R (a,b)[/tex]. Ora, [tex](a,b) R (c,d) \Longleftrightarrow ab = cd \Longleftrightarrow cd = ab \Longleftrightarrow (c,d) R (a,b)[/tex], dove la prima e la terza equivalenza valgono per la definizione della tua relazione d'equivalenza, mentrela seconda vale per la simmetria dell'uguaglianza.

Per la transitività, dobbiamo mostrare che [tex](a,b) R (c,d), (c,d) R (e,f) \Longrightarrow (a,b) R (e,f)[/tex]. Dalla prima ipotesi si ha [tex]ab=cd[/tex], dalla seconda si ha [tex]cd=ef[/tex], dunque per la transitività dell'uguaglianza si ottiene [tex]ab=ef[/tex], che equivale a dire [tex](a,b) R (e,f)[/tex].

Tutto chiaro?