Esercizio relazione d'equivalenza
Salve a tutti ragazzi, avrei alcuni dubbi sullo svolgimento del seguente esercizio:
Assegnata sugli interi la relazione:
\(\displaystyle R = { (a,b)\in Z \times Z \ |\ \exists k\in Z, t.c.\ 11k = 4c + 7b } \).
dimostrare che la relazione R definisce una relazione di equivalenza su Z e scrivere la classe di equivalenza di 0.
Ora, dalla teoria sappiamo che R è una relazione di equivalenza se verifica le seguenti proprietà:
1) Riflessiva, per ogni a appartenente ad A, a è in relazione con se stesso.
2) Simmetrica, per ogni a,b appartenenti a A, se a è in relazione con b, allora b è in relazione con a.
3) Transitiva, per ogni a,b,c appartenenti a A, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c.
Per quanto riguarda questo esercizio, non so come applicare la teoria!!!
1) Riflessiva: ?
2) Simmetrica: ?
3) Transtitiva: ?
Mi sapreste gentilmente indicare come posso svolgere tale esercizio? Grazie mille in anticipo!
Assegnata sugli interi la relazione:
\(\displaystyle R = { (a,b)\in Z \times Z \ |\ \exists k\in Z, t.c.\ 11k = 4c + 7b } \).
dimostrare che la relazione R definisce una relazione di equivalenza su Z e scrivere la classe di equivalenza di 0.
Ora, dalla teoria sappiamo che R è una relazione di equivalenza se verifica le seguenti proprietà:
1) Riflessiva, per ogni a appartenente ad A, a è in relazione con se stesso.
2) Simmetrica, per ogni a,b appartenenti a A, se a è in relazione con b, allora b è in relazione con a.
3) Transitiva, per ogni a,b,c appartenenti a A, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c.
Per quanto riguarda questo esercizio, non so come applicare la teoria!!!
1) Riflessiva: ?
2) Simmetrica: ?
3) Transtitiva: ?
Mi sapreste gentilmente indicare come posso svolgere tale esercizio? Grazie mille in anticipo!
Risposte
Penso che tu intendessi $4a$ non $4c$ ...
Per provare la proprietà riflessiva devi dimostrare che la relazione vale per ogni coppia $(a,a)$ e sostituendo nella tua relazione trovi che $11k=4a+7a\ =>\ 11k=11a\ =>\ k=a$ da cui puoi concludere che per ogni coppia $(a,a)$ esiste sempre un $k$ che rende valida la relazione, quindi quella relazione gode della proprietà riflessiva.
Prova tu a proseguire ...
Cordialmente, Alex
Per provare la proprietà riflessiva devi dimostrare che la relazione vale per ogni coppia $(a,a)$ e sostituendo nella tua relazione trovi che $11k=4a+7a\ =>\ 11k=11a\ =>\ k=a$ da cui puoi concludere che per ogni coppia $(a,a)$ esiste sempre un $k$ che rende valida la relazione, quindi quella relazione gode della proprietà riflessiva.
Prova tu a proseguire ...
Cordialmente, Alex
Buonasera, si c'è stato un errore di scrittura! Comunque io ho proseguito nel seguente modo:
2) Simmetrica: \(\displaystyle \forall a,b \in Z \ aRb \Rightarrow bRa \)
Ora, \(\displaystyle aRb \) sarebbe \(\displaystyle 11k = 4a + 7b \)
Moltiplicando ambo i membri per \(\displaystyle -1 \) abbiamo che: \(\displaystyle 11(-k) = -(4a + 7b) \).
Una volta arrivato a questo punto non so come concludere che la relazione è simmetrica! Perché ci sono alcuni esercizi svolti dal professore che moltiplica ambo i membri per \(\displaystyle -1 \), e poi ci sono altri esercizi che invece di moltiplicare per \(\displaystyle -1 \) esprime tutto in funzione di b, ad esempio in questo caso applicando tale ragionamento avremmo: \(\displaystyle b = \frac{11k - 4a}{7} \) e conclude dicendo che se \(\displaystyle b \in Z \) allora è simmetrica. Ora, in generale cosa devo fare? Esprimere in funzione di b e vedere se b appartiene all'insieme dato, o moltiplicare ambo i membri per meno uno?
3) Transitiva: \(\displaystyle \forall a,b,c \in Z \ aRb \land bRc \Rightarrow aRc \).
In questo caso ci sono alcuni esempi in cui il professore ha svolto la transitività in un modo e altri in cui è stato svolto in un altro modo, vi posto entrambe le modalità sempre facendo riferimento a tale esercizio:
Prima modalità di svolgimento:
Il ragionamento da applicare è il seguente: sappiamo che \(\displaystyle aRb \) sarebbe \(\displaystyle 11k1 = 4a + 7b \).
Sappiamo inoltre che \(\displaystyle bRc \) sarebbe \(\displaystyle 11k2 = 4b + 7c \).
Ci ricaviamo da \(\displaystyle aRb \) la \(\displaystyle b \) e la andiamo a sostituire al posto della \(\displaystyle b \) in \(\displaystyle bRc \).
Facendo semplici calcoli arriviamo ad avere: \(\displaystyle 11(7k2 -4k1) = 49c -16a \) che dovrebbe essere \(\displaystyle aRc \) ma non capisco il perchè.
Seconda modalità di svolgimento:
Sappiamo che \(\displaystyle aRb \) sarebbe \(\displaystyle 11k1 = 4a + 7b \).
Sappiamo inoltre che \(\displaystyle bRc \) sarebbe \(\displaystyle 11k2 = 4b + 7c \).
Vogliamo arrivare ad avere che \(\displaystyle 11k3 = 4a + 7c \). Quindi ci ricaviamo da \(\displaystyle aRb \) la \(\displaystyle a \) e da \(\displaystyle bRc \) la \(\displaystyle c \) e le andiamo a sostituire rispettivamente al posto di \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle c \) in \(\displaystyle 11k3 = 4a + 7c \).
Facendo semplici calcoli arriviamo ad avere: \(\displaystyle k3 -k2 -k1 = -b \).
Quale dei due metodi "può andare"? E sopratutto, perchè ci sono queste "differenze" di svolgimento?
Ora, in generale, come devo comportarmi per dimostrare sia la simmetria che la transitività? Perchè da come ci ha spiegato il professore, ogni esercizio lo fa si può dire in modo diverso e non ho capito molto bene! A livello teorico so perfettamente come funziona, ma quando devo fare gli esercizi, mi blocco! Spero di ricevere un aiuto perchè sto in crisi si può dire!
grazie mille in anticipo e scusate se mi sono dilungato parecchio!
2) Simmetrica: \(\displaystyle \forall a,b \in Z \ aRb \Rightarrow bRa \)
Ora, \(\displaystyle aRb \) sarebbe \(\displaystyle 11k = 4a + 7b \)
Moltiplicando ambo i membri per \(\displaystyle -1 \) abbiamo che: \(\displaystyle 11(-k) = -(4a + 7b) \).
Una volta arrivato a questo punto non so come concludere che la relazione è simmetrica! Perché ci sono alcuni esercizi svolti dal professore che moltiplica ambo i membri per \(\displaystyle -1 \), e poi ci sono altri esercizi che invece di moltiplicare per \(\displaystyle -1 \) esprime tutto in funzione di b, ad esempio in questo caso applicando tale ragionamento avremmo: \(\displaystyle b = \frac{11k - 4a}{7} \) e conclude dicendo che se \(\displaystyle b \in Z \) allora è simmetrica. Ora, in generale cosa devo fare? Esprimere in funzione di b e vedere se b appartiene all'insieme dato, o moltiplicare ambo i membri per meno uno?
3) Transitiva: \(\displaystyle \forall a,b,c \in Z \ aRb \land bRc \Rightarrow aRc \).
In questo caso ci sono alcuni esempi in cui il professore ha svolto la transitività in un modo e altri in cui è stato svolto in un altro modo, vi posto entrambe le modalità sempre facendo riferimento a tale esercizio:
Prima modalità di svolgimento:
Il ragionamento da applicare è il seguente: sappiamo che \(\displaystyle aRb \) sarebbe \(\displaystyle 11k1 = 4a + 7b \).
Sappiamo inoltre che \(\displaystyle bRc \) sarebbe \(\displaystyle 11k2 = 4b + 7c \).
Ci ricaviamo da \(\displaystyle aRb \) la \(\displaystyle b \) e la andiamo a sostituire al posto della \(\displaystyle b \) in \(\displaystyle bRc \).
Facendo semplici calcoli arriviamo ad avere: \(\displaystyle 11(7k2 -4k1) = 49c -16a \) che dovrebbe essere \(\displaystyle aRc \) ma non capisco il perchè.
Seconda modalità di svolgimento:
Sappiamo che \(\displaystyle aRb \) sarebbe \(\displaystyle 11k1 = 4a + 7b \).
Sappiamo inoltre che \(\displaystyle bRc \) sarebbe \(\displaystyle 11k2 = 4b + 7c \).
Vogliamo arrivare ad avere che \(\displaystyle 11k3 = 4a + 7c \). Quindi ci ricaviamo da \(\displaystyle aRb \) la \(\displaystyle a \) e da \(\displaystyle bRc \) la \(\displaystyle c \) e le andiamo a sostituire rispettivamente al posto di \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle c \) in \(\displaystyle 11k3 = 4a + 7c \).
Facendo semplici calcoli arriviamo ad avere: \(\displaystyle k3 -k2 -k1 = -b \).
Quale dei due metodi "può andare"? E sopratutto, perchè ci sono queste "differenze" di svolgimento?
Ora, in generale, come devo comportarmi per dimostrare sia la simmetria che la transitività? Perchè da come ci ha spiegato il professore, ogni esercizio lo fa si può dire in modo diverso e non ho capito molto bene! A livello teorico so perfettamente come funziona, ma quando devo fare gli esercizi, mi blocco! Spero di ricevere un aiuto perchè sto in crisi si può dire!
grazie mille in anticipo e scusate se mi sono dilungato parecchio!
Non so dirti se esiste un metodo risolutivo ... per esempio si può dimostrare la simmetricità così ...
Se una coppia $(a,b)$ appartiene alla relazione significa che esiste un $k$ intero tale per cui sia valida $11k=4a+7b$; da questa passiamo a $11k+7a+4b=4a+7b+7a+4b$ ovvero $7a+4b=11a+11b-11k$ da cui $(7a+4b)/11=a+b-k$; ma $k'=a+b-k$ è sicuramente intero perciò $(7a+4b)/11=k'$ da cui $11k'=4b+7a$ con $k'$ intero; si può concludere che anche la coppia $(b,a)$ appartiene alla relazione la quale quindi gode della proprietà simmetrica.
Ma un metodo generale non lo conosco ...
Cordialmente, Alex
Se una coppia $(a,b)$ appartiene alla relazione significa che esiste un $k$ intero tale per cui sia valida $11k=4a+7b$; da questa passiamo a $11k+7a+4b=4a+7b+7a+4b$ ovvero $7a+4b=11a+11b-11k$ da cui $(7a+4b)/11=a+b-k$; ma $k'=a+b-k$ è sicuramente intero perciò $(7a+4b)/11=k'$ da cui $11k'=4b+7a$ con $k'$ intero; si può concludere che anche la coppia $(b,a)$ appartiene alla relazione la quale quindi gode della proprietà simmetrica.
Ma un metodo generale non lo conosco ...
Cordialmente, Alex
PREMESSO CHE NON SONO ESPERTO...ANZI DIREI PASTICCIONE
ma se la relazione è riflessiva $ rArr $ che $k=a $ e quindi non possiamo anche dire che la relazione è simmetrica
$ rArr $ $ EE $ un $k in Z=(4b+7a)/11$ dove $ a=b$
Per la transitività $k=(4a+7c)/11$ dove è necessario che $c =a$
LA RELAZIONE risulta di equivalenza solo quando $a=b=c $ è questo si può vedere con un contro esempio.
ma se la relazione è riflessiva $ rArr $ che $k=a $ e quindi non possiamo anche dire che la relazione è simmetrica
$ rArr $ $ EE $ un $k in Z=(4b+7a)/11$ dove $ a=b$
Per la transitività $k=(4a+7c)/11$ dove è necessario che $c =a$
LA RELAZIONE risulta di equivalenza solo quando $a=b=c $ è questo si può vedere con un contro esempio.
A me pare di aver dimostrato che è riflessiva e simmetrica sempre ...
Guarda che secondo me a dimostrare che era riflessiva e simmetrica sei stato eccellente...sono io che cercavo un altro modo. Per esempio io dicevo per la transitività che se voglio ricavare $k $ allora $a=c $ oppure sempre per la transitività se voglio ricavare $b $ allora $k=c $...lo faccio per capirci di più.
Per esempio ho anche notato che tutto può essere visto come congruenza.
Grazie per la collaborazione
Per esempio ho anche notato che tutto può essere visto come congruenza.
Grazie per la collaborazione
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