Esercizio principio di induzione con disequazione
Salve a tutti!
Mi sto preparando nell'esame di Matematica Discreta per Informatica e mi è capitato sotto mano questo esercizio:
Dimostrare attraverso il principio di induzione che
$ AA n >= 7 : 2^n > n^2 + 4n+ 5 $
Benissimo. Inizio l'esercizio dimostrando che P(7), ovvero il passo base, è vera
Si ottiene, infatti che : 128> 82 -> vera.
Passo al passo induttivo:
P(k) vera => P(k+1) vera
$ 2^(k+1) = 2 * 2^k > 2(n^2 + 4n + 5) > 2n^2 + 8n+ 10 $
$ > n^2 + n^2 + 4n + 4n + 5+ 5 $
$ > n^2 + n^2 + 2n + 2n + 4n + 4 + 1 + 5 $
$ > n^2 + n^2 + 2n +2n +1 + 4(n+1) + 5 $
Arrivati a questo punto, non riesco ad ottenere il $ (n+1)^2 +4(n+1) + 5 $ finale della dimostrazione per induzione.
C'è qualche errore nel calcolo o mi sono solo "incartato" su una fesseria?
Grazie mille a tutti per la disonibilità!
Mi sto preparando nell'esame di Matematica Discreta per Informatica e mi è capitato sotto mano questo esercizio:
Dimostrare attraverso il principio di induzione che
$ AA n >= 7 : 2^n > n^2 + 4n+ 5 $
Benissimo. Inizio l'esercizio dimostrando che P(7), ovvero il passo base, è vera
Si ottiene, infatti che : 128> 82 -> vera.
Passo al passo induttivo:
P(k) vera => P(k+1) vera
$ 2^(k+1) = 2 * 2^k > 2(n^2 + 4n + 5) > 2n^2 + 8n+ 10 $
$ > n^2 + n^2 + 4n + 4n + 5+ 5 $
$ > n^2 + n^2 + 2n + 2n + 4n + 4 + 1 + 5 $
$ > n^2 + n^2 + 2n +2n +1 + 4(n+1) + 5 $
Arrivati a questo punto, non riesco ad ottenere il $ (n+1)^2 +4(n+1) + 5 $ finale della dimostrazione per induzione.
C'è qualche errore nel calcolo o mi sono solo "incartato" su una fesseria?
Grazie mille a tutti per la disonibilità!
Risposte
Arrivati a queso punto
$ 2(n^2 + 4n + 5) > 2n^2 + 8n+ 10 $
si puo' vedere che $\quad\quad 2n^2 + 8n+ 10 >n^2+6n+6=(n+1)^2+4(n+1)+5 $
$ 2(n^2 + 4n + 5) > 2n^2 + 8n+ 10 $
si puo' vedere che $\quad\quad 2n^2 + 8n+ 10 >n^2+6n+6=(n+1)^2+4(n+1)+5 $
Non mi è ben chiaro il passaggio
$ 2n^2+8n+10>n^2+6n+6 $
da dove hai ricavato questo polinomio?
Inoltre non mi ritrovo con i calcoli:
$ (n+1)^2+4(n+1)+5 = n^2 +2n+1+4n+4+5 = n^2 + 6n +10 != n^2+6n+6 $ (come hai scritto tu)
$ 2n^2+8n+10>n^2+6n+6 $
da dove hai ricavato questo polinomio?
Inoltre non mi ritrovo con i calcoli:
$ (n+1)^2+4(n+1)+5 = n^2 +2n+1+4n+4+5 = n^2 + 6n +10 != n^2+6n+6 $ (come hai scritto tu)
scusami hai ragione una svista..
$ \quad\quad 2n^2 + 8n+ 10 >n^2+6n+10=(n+1)^2+4(n+1)+5 $
la disuguaglianza vale perchè $\quad 2n^2>n^2 \quad$ e $\quad 8n>6n \quad$ e $\quad 10=10 \quad$ per n>6
ovviamente quel polinomio è propio quello di cui voglio dimostrare la disuguaglianza
$ \quad\quad 2n^2 + 8n+ 10 >n^2+6n+10=(n+1)^2+4(n+1)+5 $
la disuguaglianza vale perchè $\quad 2n^2>n^2 \quad$ e $\quad 8n>6n \quad$ e $\quad 10=10 \quad$ per n>6
ovviamente quel polinomio è propio quello di cui voglio dimostrare la disuguaglianza
Ti ringrazio per la spiegazione e per la precisione 
Già mi vedo durante l'esame ad ammattire per cercare una soluzione del genere
Già mi vedo durante l'esame ad ammattire per cercare una soluzione del genere
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